（高等数学方法在工程中的应用）Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers

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【核心代码】M-matlab

Contents
1 Anti-Copyright 22
2 Preface 23
2.1 Advice to Teachers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Warnings and Disclaimers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Suggested Use . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 About the Title . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I Algebra 1
3 Sets and Functions 2
3.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Single Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Inverses and Multi-Valued Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.4 Transforming Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Vectors 11
4.1 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1
4.1.1 Scalars and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 The Kronecker Delta and Einstein Summation Convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.1.3 The Dot and Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2 Sets of Vectors in n Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
II Calculus 36
5 Differential Calculus 37
5.1 Limits of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.3 The Derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4 Implicit Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.5 Maxima and Minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.6 Mean Value Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.6.1 Application: Using Taylor’s Theorem to Approximate Functions. . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.6.2 Application: Finite Difference Schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.7 L’Hospital’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.10 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Integral Calculus 100
6.1 The Indefinite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.2 The Definite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2
6.3 The Fundamental Theorem of Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Techniques of Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.4.1 Partial Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 Improper Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7 Vector Calculus 134
7.1 Vector Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.2 Gradient, Divergence and Curl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
III Functions of a Complex Variable 150
8 Complex Numbers 151
8.1 Complex Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.2 The Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
8.3 Polar Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
8.4 Arithmetic and Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.5 Integer Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
8.6 Rational Exponents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3
9 Functions of a Complex Variable 202
9.1 Curves and Regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
9.2 Cartesian and Modulus-Argument Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.3 Graphing Functions of a Complex Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
9.4 Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
9.5 Inverse Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.6 Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10 Analytic Functions 303
10.1 Complex Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
10.2 Cauchy-Riemann Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
10.3 Harmonic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
10.4 Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
10.4.1 Categorization of Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
10.4.2 Isolated and Non-Isolated Singularities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
10.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
10.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
10.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
11 Analytic Continuation 356
11.1 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
11.2 Analytic Continuation of Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
11.3 Analytic Functions Defined in Terms of Real Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
11.3.1 Polar Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
11.3.2 Analytic Functions Defined in Terms of Their Real or Imaginary Parts . . . . . . . . . . . 369
11.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
11.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
4
11.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
12 Contour Integration and Cauchy’s Theorem 381
12.1 Line Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
12.2 Under Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
12.3 Cauchy’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
12.4 Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
12.5 Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
12.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
12.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
12.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13 Cauchy’s Integral Formula 403
13.1 Cauchy’s Integral Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
13.2 The Argument Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
13.3 Rouche’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
13.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
13.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
13.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
14 Series and Convergence 422
14.1 Series of Constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.1.2 Special Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
14.1.3 Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
14.2 Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
14.2.1 Tests for Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
14.2.2 Uniform Convergence and Continuous Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
14.3 Uniformly Convergent Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
14.4 Integration and Differentiation of Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
5
14.5 Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
14.5.1 Newton’s Binomial Formula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
14.6 Laurent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
14.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
14.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
14.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
15 The Residue Theorem 490
15.1 The Residue Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
15.2 Cauchy Principal Value for Real Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
15.2.1 The Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
15.3 Cauchy Principal Value for Contour Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
15.4 Integrals on the Real Axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
15.5 Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
15.6 Fourier Cosine and Sine Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
15.7 Contour Integration and Branch Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
15.8 Exploiting Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
15.8.1 Wedge Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
15.8.2 Box Contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
15.9 Definite Integrals Involving Sine and Cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
15.10Infinite Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
15.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
15.12Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
15.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
IV Ordinary Differential Equations 634
16 First Order Differential Equations 635
16.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
6
16.2 One Parameter Families of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
16.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
16.3.1 Separable Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
16.3.2 Homogeneous Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
16.4 The First Order, Linear Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
16.4.1 Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649
16.4.2 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
16.4.3 Variation of Parameters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
16.5 Initial Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
16.5.1 Piecewise Continuous Coefficients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
16.6 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659
16.7 Equations in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
16.7.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
16.7.2 Regular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
16.7.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
16.7.4 The Point at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 671
16.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674
16.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 680
16.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683
17 First Order Systems of Differential Equations 705
17.1 Matrices and Jordan Canonical Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705
17.2 Systems of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
17.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 719
17.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
17.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727
18 Theory of Linear Ordinary Differential Equations 757
18.1 Nature of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758
18.2 Transformation to a First Order System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
7
18.3 The Wronskian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
18.3.1 Derivative of a Determinant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
18.3.2 The Wronskian of a Set of Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763
18.3.3 The Wronskian of the Solutions to a Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
18.4 Well-Posed Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
18.5 The Fundamental Set of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 770
18.6 Adjoint Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
18.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
18.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
18.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
19 Techniques for Linear Differential Equations 786
19.1 Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786
19.1.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
19.1.2 Higher Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
19.1.3 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793
19.2 Euler Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
19.2.1 Real-Valued Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 798
19.3 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
19.4 Equations Without Explicit Dependence on y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802
19.5 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803
19.6 *Reduction of Order and the Adjoint Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
19.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 807
19.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
19.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
20 Techniques for Nonlinear Differential Equations 842
20.1 Bernoulli Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842
20.2 Riccati Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
20.3 Exchanging the Dependent and Independent Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 848
8
20.4 Autonomous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 850
20.5 *Equidimensional-in-x Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854
20.6 *Equidimensional-in-y Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856
20.7 *Scale-Invariant Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 859
20.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860
20.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864
20.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
21 Transformations and Canonical Forms 878
21.1 The Constant Coefficient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878
21.2 Normal Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
21.2.1 Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
21.2.2 Higher Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 883
21.3 Transformations of the Independent Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
21.3.1 Transformation to the form u” a(x) u = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885
21.3.2 Transformation to a Constant Coefficient Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
21.4 Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
21.4.1 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 889
21.4.2 Boundary Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891
21.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
21.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896
21.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897
22 The Dirac Delta Function 904
22.1 Derivative of the Heaviside Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904
22.2 The Delta Function as a Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
22.3 Higher Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
22.4 Non-Rectangular Coordinate Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908
22.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
22.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
9
22.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 912
23 Inhomogeneous Differential Equations 915
23.1 Particular Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915
23.2 Method of Undetermined Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
23.3 Variation of Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
23.3.1 Second Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
23.3.2 Higher Order Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925
23.4 Piecewise Continuous Coefficients and Inhomogeneities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927
23.5 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
23.5.1 Eliminating Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 931
23.5.2 Separating Inhomogeneous Equations and Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . 933
23.5.3 Existence of Solutions of Problems with Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . 934
23.6 Green Functions for First Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936
23.7 Green Functions for Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 939
23.7.1 Green Functions for Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949
23.7.2 Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953
23.7.3 Problems with Unmixed Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956
23.7.4 Problems with Mixed Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958
23.8 Green Functions for Higher Order Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962
23.9 Fredholm Alternative Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
23.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975
23.11Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982
23.12Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986
24 Difference Equations 1027
24.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027
24.2 Exact Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029
24.3 Homogeneous First Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030
24.4 Inhomogeneous First Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032
10
24.5 Homogeneous Constant Coefficient Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035
24.6 Reduction of Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1038
24.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040
24.8 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1041
24.9 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1042
25 Series Solutions of Differential Equations 1046
25.1 Ordinary Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046
25.1.1 Taylor Series Expansion for a Second Order Differential Equation . . . . . . . . . . . . . . 1051
25.2 Regular Singular Points of Second Order Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060
25.2.1 Indicial Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063
25.2.2 The Case: Double Root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065
25.2.3 The Case: Roots Differ by an Integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069
25.3 Irregular Singular Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
25.4 The Point at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079
25.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082
25.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087
25.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1089
26 Asymptotic Expansions 1113
26.1 Asymptotic Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113
26.2 Leading Order Behavior of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117
26.3 Integration by Parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126
26.4 Asymptotic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133
26.5 Asymptotic Expansions of Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135
26.5.1 The Parabolic Cylinder Equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135
27 Hilbert Spaces 1141
27.1 Linear Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1141
27.2 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143
11
27.3 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144
27.4 Linear Independence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147
27.5 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147
27.6 Gramm-Schmidt Orthogonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147
27.7 Orthonormal Function Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1151
27.8 Sets Of Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152
27.9 Least Squares Fit to a Function and Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1158
27.10Closure Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1161
27.11Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166
27.12Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167
27.13Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1168
27.14Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169
28 Self Adjoint Linear Operators 1171
28.1 Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171
28.2 Self-Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172
28.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175
28.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176
28.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177
29 Self-Adjoint Boundary Value Problems 1178
29.1 Summary of Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178
29.2 Formally Self-Adjoint Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179
29.3 Self-Adjoint Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1182
29.4 Self-Adjoint Eigenvalue Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1183
29.5 Inhomogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188
29.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191
29.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1192
29.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1193
12
30 Fourier Series 1195
30.1 An Eigenvalue Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195
30.2 Fourier Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198
30.3 Least Squares Fit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204
30.4 Fourier Series for Functions Defined on Arbitrary Ranges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207
30.5 Fourier Cosine Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1210
30.6 Fourier Sine Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1211
30.7 Complex Fourier Series and Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212
30.8 Behavior of Fourier Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215
30.9 Gibb’s Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224
30.10Integrating and Differentiating Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224
30.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229
30.12Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238
30.13Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1241
31 Regular Sturm-Liouville Problems 1291
31.1 Derivation of the Sturm-Liouville Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1291
31.2 Properties of Regular Sturm-Liouville Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294
31.3 Solving Differential Equations With Eigenfunction Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1305
31.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311
31.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315
31.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317
32 Integrals and Convergence 1342
32.1 Uniform Convergence of Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342
32.2 The Riemann-Lebesgue Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343
32.3 Cauchy Principal Value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345
32.3.1 Integrals on an Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345
32.3.2 Singular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1345
13
33 The Laplace Transform 1347
33.1 The Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347
33.2 The Inverse Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1349
33.2.1 F(s) with Poles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1352
33.2.2
ˆ
f(s) with Branch Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357
33.2.3 Asymptotic Behavior of F(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1360
33.3 Properties of the Laplace Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362
33.4 Constant Coefficient Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1366
33.5 Systems of Constant Coefficient Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1368
33.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1370
33.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378
33.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382
34 The Fourier Transform 1415
34.1 Derivation from a Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415
34.2 The Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417
34.2.1 A Word of Caution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1420
34.3 Evaluating Fourier Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421
34.3.1 Integrals that Converge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1421
34.3.2 Cauchy Principal Value and Integrals that are Not Absolutely Convergent. . . . . . . . . . 1424
34.3.3 Analytic Continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426
34.4 Properties of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1428
34.4.1 Closure Relation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429
34.4.2 Fourier Transform of a Derivative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1430
34.4.3 Fourier Convolution Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431
34.4.4 Parseval’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1435
34.4.5 Shift Property. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1436
34.4.6 Fourier Transform of x f(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437
34.5 Solving Differential Equations with the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1437
34.6 The Fourier Cosine and Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440
14
34.6.1 The Fourier Cosine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1440
34.6.2 The Fourier Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1441
34.7 Properties of the Fourier Cosine and Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442
34.7.1 Transforms of Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1442
34.7.2 Convolution Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1444
34.7.3 Cosine and Sine Transform in Terms of the Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . 1446
34.8 Solving Differential Equations with the Fourier Cosine and Sine Transforms . . . . . . . . . . . . . 1447
34.9 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449
34.10Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1455
34.11Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458
35 The Gamma Function 1484
35.1 Euler’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1484
35.2 Hankel’s Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486
35.3 Gauss’ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1488
35.4 Weierstrass’ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1490
35.5 Stirling’s Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492
35.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1497
35.7 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1498
35.8 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499
36 Bessel Functions 1501
36.1 Bessel’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1501
36.2 Frobeneius Series Solution about z = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1502
36.2.1 Behavior at Infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1505
36.3 Bessel Functions of the First Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1507
36.3.1 The Bessel Function Satisfies Bessel’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1508
36.3.2 Series Expansion of the Bessel Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509
36.3.3 Bessel Functions of Non-Integral Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512
36.3.4 Recursion Formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515
15
36.3.5 Bessel Functions of Half-Integral Order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518
36.4 Neumann Expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519
36.5 Bessel Functions of the Second Kind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1523
36.6 Hankel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525
36.7 The Modified Bessel Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1525
36.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529
36.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534
36.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536
V Partial Differential Equations 1559
37 Transforming Equations 1560
37.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1561
37.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1562
37.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563
38 Classification of Partial Differential Equations 1564
38.1 Classification of Second Order Quasi-Linear Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1564
38.1.1 Hyperbolic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1565
38.1.2 Parabolic equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1570
38.1.3 Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1570
38.2 Equilibrium Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1572
38.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574
38.4 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1575
38.5 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1576
39 Separation of Variables 1580
39.1 Eigensolutions of Homogeneous Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1580
39.2 Homogeneous Equations with Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1580
16
39.3 Time-Independent Sources and Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1582
39.4 Inhomogeneous Equations with Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1585
39.5 Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1587
39.6 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589
39.7 General Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1593
39.8 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1594
39.9 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608
39.10Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613
40 Finite Transforms 1690
40.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694
40.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1695
40.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1696
41 Waves 1701
41.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1702
41.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1708
41.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1710
42 The Diffusion Equation 1727
42.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728
42.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1730
42.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731
43 Similarity Methods 1734
43.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1739
43.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1740
43.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1741
17
44 Method of Characteristics 1743
44.1 The Method of Characteristics and the Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743
44.2 The Method of Characteristics for an Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1745
44.3 The Method of Characteristics for a Semi-Infinite Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1746
44.4 Envelopes of Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1747
44.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1750
44.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1752
44.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753
45 Transform Methods 1759
45.1 Fourier Transform for Partial Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1759
45.2 The Fourier Sine Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1761
45.3 Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1762
45.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1763
45.5 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768
45.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1771
46 Green Functions 1794
46.1 Inhomogeneous Equations and Homogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1794
46.2 Homogeneous Equations and Inhomogeneous Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . 1795
46.3 Eigenfunction Expansions for Elliptic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797
46.4 The Method of Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1802
46.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803
46.6 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808
46.7 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810
47 Conformal Mapping 1851
47.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1852
47.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1855
47.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856
18
48 Non-Cartesian Coordinates 1864
48.1 Spherical Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1864
48.2 Laplace’s Equation in a Disk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1865
48.3 Laplace’s Equation in an Annulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868
VI Calculus of Variations 1872
49 Calculus of Variations 1873
49.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1874
49.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1891
49.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897
VII Nonlinear Differential Equations 1990
50 Nonlinear Ordinary Differential Equations 1991
50.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1992
50.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1997
50.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1999
51 Nonlinear Partial Differential Equations 2021
51.1 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2022
51.2 Hints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2025
51.3 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2026
VIII Appendices 2044
A Greek Letters 2045
19
B Notation 2047
C Formulas from Complex Variables 2049
D Table of Derivatives 2052
E Table of Integrals 2056
F Definite Integrals 2060
G Table of Sums 2063
H Table of Taylor Series 2066
I Table of Laplace Transforms 2069
J Table of Fourier Transforms 2074
K Table of Fourier Transforms in n Dimensions 2077
L Table of Fourier Cosine Transforms 2078
M Table of Fourier Sine Transforms 2080
N Table of Wronskians 2082
O Sturm-Liouville Eigenvalue Problems 2084
P Green Functions for Ordinary Differential Equations 2086
Q Trigonometric Identities 2089
Q.1 Circular Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2089
20
Q.2 Hyperbolic Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2091
R Bessel Functions 2094
R.1 Definite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2094
S Formulas from Linear Algebra 2095
T Vector Analysis 2097
U Partial Fractions 2099
V Finite Math 2103
W Probability 2104
W.1 Independent Events . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104
W.2 Playing the Odds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2105
X Economics 2106
Y Glossary 2107
21
Chapter 1
Anti-Copyright
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22
Chapter 2