数值计算方法课后习题及答案

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数值计算方法课后习题及答案 高清版 。
(x)=4-3(x-1)+ )(x-2)--(x-1)(x-2)(x-4) +(x-1)(x-2)(x-4)(x-6) 180 ,插值余项为 4-3(x-1)+(x-1)(x-2)--(x-1)(x-2)x-4) ,(x-1)x-2)(x-4)(x-6 80 R4(x) x-1)(x-2)(x-4(x-6x-7),5∈(,7) 第三章函数逼近与计算(8082) 26、用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式,使它与下列数据相拟合, 并求均方误差 1925313844 y19.032.349.073.397.8 [解]由d1=(1(x,f(x)=∑y=19.0+323+49.0+73+978=271 d2=(2(xr),f(x)=∑yx 190×192+32.3×252+490×312+73.3×382+978×442。 =6859+20187.5+47089+105845.2+189340.8=3693215 又((x),x1)=∑1=5 ((x),2(x)=∑x2=192+252+312+3832+44 361+625+961+1444+1936=5327 (2(x22(x)=∑x=19+25+31+38+44 =130321+390625+923521+2085136+3748096=7277699 故法方程为/55327a1「2714 a=4.578 解得 53277277699‖b|369321.5 b=0.047 均方误差为∑x)/(x)=2E+饭-( =6.477025+2732409+0.555025+0.729316+49729=15466675 27、观测物体的直线运动,得出以下数据 时间t(秒)0|0.91.93.03.95.0 距离s(米)o1030508010 解]设直线运动为二次多项式f(x)=a+bx+cx2,则由 ((x)f(x)=∑y=0+10+30+50+80+10=2 d2=(2(x,(x)=∑x 0×0+10×09+30×1.9+50×3+80×39+110×5, 9+57+150+312+550=1078 f(x)=∑yx =0×02+10×092+30×1.92+50×32+80×3.92+110×52。 =8.1+1083+450+12168+2750=4533.2 又(qn(x(x)=∑ ((x),2(x)=(2(x)(x)=∑x=0+09+19+3+39+5=14.7, x)g(x)=(3(x)1(x)=(2(x)2(x) 8←2=032+0.92+192+32+392+52=081+361+9+15.21+25=53.63 (2(x(x)=((x),2(x)=∑x=03+09+193+3+393+ =0.729+6.859+27+59.319+125=218907 (3(x21(x)=∑x=0+0.9+1.9+32+39+5 0.6561+13.0321+81+231.3441+625=951.0323 14.753.63 280 0.5837 故法方程为1475363218907b-1078,解得{b=110814 5363218907951.0323‖c45332 c=22488 故直线运动为f(x)=-0.5837+110814x+22488x2 补充题:1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表: I|1|l21 试用最小二乘原理确定电阻R的大小 [解]电流、电阻与电压之间满足如下关系:U=IR。应用最小二乘原理,求R 使得o(R)=∑(R-U)2达到最小。对以(R)求导得到 (R=2∑(R-1)1,令()=0,得到电阻R为= 2、对于某个长度测量了n次,得到n个近似值x1,x2…,xn,通常取平均值 =-(x1+x2+…+xn)作为所求长度,请说明理由 [解]令叫(x)=∑(x-x)2,求x使得(x)达到最小。对(x)求导得到 g(x)=2(x-x),令q(x)=0,得到x=∑r,这说明取平均值 x=(x1+x2+…+xn)在最小二乘意义下误差达到最小。 3、有函数如下表,要求用公式y=a+bx3拟合所给数据,试确定拟合公式中的 a和ba 3 2 0 3 |-1.760.421.201.341.432.254.38 解]取q( 1(x) 则 9(x)=∑1=7,((x)2g2(x)=((x)()=∑x=0 (1(x)(x)=∑x=1588而 ((x)y(x)=∑y=926,((xy(x)∑xy1=18065·故法方程为 70 13229 ,解得 01588 b=0.11376 4、在某个低温过程中,函数y依赖于温度θ(°C)的实验数据为 234 y0.81.51.82.0 已知经验公式的形式为y=a+b2,是用最小二乘法求出a和b [解]取φ()=日,q(6)=日2,则 ((6.9(0)=∑62=30,((.()=(1(6,(0)=∑e=100 ,9(6)∑e=354,而 (O,y()=∑ay=172,(2(O),y(0)=∑y,=55故法方程为 30100 17.2 0.9497 ,解得 100354b)(55 b=-0.1129 5、单原子波函数的形式为y=ae,试按照最小二乘法决定参数a和b,已知 数据如下 x0124 0101.2100.74 450 [解]对y=ae-两边取对数得lny=la-bx,令Y=hny,A=hna,则拟合函 数变为Y=A-br,所给数据转化为 0 2 y0.69810.1906-0.3011-0.7985 取(x)=1,g(x)=x,则 (qa(x,(x)=∑1=4,((x)(x)=((x22(x)=∑x ((x,2(x)=∑x2=21,而 ((x)yx)=∑y=-02109,((x)y(x)=∑x=-3,6056·故法方程为 47 0.2109 A=0.5946 解得 因而拟合函数为 721b)(-36056 b=-0.3699 Y=0.5946-0.3699x,原拟合函数为y=c0036x=1.8123e3。 第四章数值积分与数值微分(107) 2、分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分: L 4 k f(a)+2∑f(x)+f(b)=+ 8 + 忌= 16-4 kEl k 4+ [解]=(+2∑ 8 k256+k25 +2/、8 4242401256 +一 +一 +)+-]≈0.11140 1644-2576526517281733055 f(a)+4∑f(x1)+2∑f(x4)+f(b 2k+1 k +4 16 十 十 48-4 2k+1 4+ 16 16(2k+1) 8k +-)≈0.11157 48 k=61024+(2k+1)2256+k 精确值为4二在=2叫4+x)出=20.157 3) dx n=4: 3 [解](略),精确值为,√xx=x21=2(27-1) 4、用辛普森公式求积分[ex并估计误差。 s=-[(a)+4a+b b-a 0+ +f(b) 6 2/+/( [解 一(e+4e2+e)=(1+242612+0.36788)≈0.63233 b-alb-a (4) 01 e”,从而Rs|≤ 3.472×10 180(2 18016 18016 第五章常微分方程数值解法(141-142) 1、就初值问题y′=ax+b,y(O)=0分别导出欧拉方法和改进的欧拉方法的近似 解的表达式,并与准确解y=ax2+bx相比较。 [解]由欧拉公式可知yn=yn+h(axn+b),即yn1-yn=(axn+b),从而 ym-y0=∑ax4+b)=∑列a(x+h)+b k=0 k= 即 [aho t kah )+bh]=ah(n+l) n(n+1) ah2+(m+1) Vr=yo+alne. n(n- 2ah2+mbh,又因为y=0,x=0,所以 P ah2+nbh。再由x=mh,可知误差为 ax+hx, -L ah- + nbh mh+mh、n(n-1 ah2=nbh= naha e n+1 +h(a℃n+b) 由改进的欧拉公式可知{ym=y+[(axn+b)+(axm1+b, ah V+-(x+xm1)+bh y )+b,从而 h ∑[(x+xk)+=∑{[x+(2k+1+b ah(n+1)(1+2n+1)(m+1) +(n+1)bh 即 2 ah(n+1)(n+1) + ah-+(n+l)bh =1a+,mnh2+mb,又因为y=0,x=0,所以 yn1=ah2+mbh。再由xn=mh,可知误差为 y(x)-y1=1ax2+b-[mam2+mM]=1amh2+bmh-an2-m=0 2、用改进的欧拉方法求解初值问题 y=x+y,0<x< ,取步长h=0.1计算, y(0)=1 并与准确解y=-x-1+2e'相比较。 n+】=ym +h(x,+yr) VR+-[+y,+rn+L+yu)I [解]由改进的欧拉公式可知 又由 E[x,+y+xn41+y,+(x+y) (1+h+ 22 x0=0,y=1,h=0.1,可得yn1=1.105xyn+0.05x+0.055xn,从而 y1=1.105×1+0.05×0.1+0.005×0=1.l; y2=1.105×1.1+0.05×0.2+0.055×0.1=122655+0.01+0.0055=1.24205: y3=1.105×1.24205+0.05×0.3+0.055×0.2 1.37246525+0.015+0011=1.39846525 y4=1.105×1.39846525+0.05×0.4+0.055×0.3 1.545303825+0.02+0.0165=1.58180410125 ys=1.105×1.58180410125+0.05×0.5+0.055×0.4 =1.74789353188125+0.025+0.022=1.79489353188125 V=1.105×1.79489353188125+0.05×0.6+0.055×0.5 =198335735272878125+0.03+0.0275=204085735272878125 L.105×2.04085735272878125+0.05×0.7+0.055×0.6 =2.25514737476530328125+0.035+0033=2.32314737476530328125 y8=1.105×232314737476530328125+0.05×0.8+0.055×0.7 =2.56707784911566012578125+0.04+00385=264557784911566012578125 y=1.105×264557784911566012578125+0.05×0.9+0.055×0.8 =292336352327260443898828125+0.045+0.044 301236352327260443898828125 y10=1.105×3.01236352327260443898828125+0.05×1+0.055×0.9 3.32866169321644890508205078125+0.05+0.0495 =342816169321644890508205078125 3、用改进的欧拉方法解y=x2+x-y,取步长h=0计算y(0.5),并与准确 v(0)=0 解y=-e-+x2-x+1相比较。 [解]由改进的欧拉公式可知 +h(r:+x-y) yx=y+2比+x,一,++xm一,+C十工,一),又由x=0, h (1-h+-) +xn)+一(xn+1+xm) =0,h=0.1,可得yn=0.905yn+0045(x2+xn)+0.05(x21+xm1),从而 y1=0.905×0+0.045×(02+0)+0.05×(0.12+0.1)=0.0055: y2=0.905×00055+0.045×(012+0.1)+0.05×(022+0.2) =0.0049775+0.00495+0012=00219275 y3=0.905×00219275+0.045×(0.2+0.2)+0.05×(0.3+0.3) 00198443875+0.0108+00195=0.0501443875 y4=0.905×00501443875+0.045×(0.32+0.3) +0.05×(042+0.4) =0.0453806706875+001755+0.028=0.0909304706875 【实例截图】
【核心代码】