ARMA模型的详细介绍与举例

【实例简介】
详细介绍ARMA模型 里面不仅介绍了该模型的实际用法也进行了举例分析
计算结果表明, 时,预测的标准误差较小,所以选取=。预测第月份的 销售收入为 计算的 程序如卜 为移动平均的项数 由于的取值不同,的长度不一致,下面使用了细胞数组 简单移动平均法只這合做近期预测,而且是预测目标的发展趋势变化不人的情况 如果目标的发展趋势存在其它的变化,米用简单移动屮均法就会产生较大的预测偏差和 滞后。 加权移动平均法 在简单栘动平均公式中,每期数据在求平均时的作用是等同的。但是,每期数据 所包含的信息量不样,近期数据包含着更多关于未来情况的信息。因此,把各期数据 等同看待是不尽合理的,应考虑各期数据的重要性,对近期数据给予较大的权重,这就 是加权移动平均法的基本思想。 设时间序列为 加权移动平均公式为 十· 十∴+ 式中为期加权移动平均数;为的权数,它体现了相应的在加权平均数 中的重要性。 利用加权移动平均数来做预测,其预测公式为 即以第期加权移动平均数作为第+期的预测值。 例我国 年原煤广量如表所示,试用加权移动平均法预测年 的产量。 表我国原煤产量统计数据及加权移动平均预测值表 原煤产量 三年加权移动平均预测值 相对差(%) 解取 ,按预测公式 计算三年加权移动平均预测值,其结果列于表中。年我国原煤产量的预测 值为(亿吨 这个预测值偏低,可以修正。其方法是:先计算各年预测值与实际值的相对误差,例如 年为 将相对误差列于表中,再计算总的平均相对误差。 由于总预测值的平均值比实际值低,所以可将年的预测值修正为 计算的 程序如下: 在加权移动平均法中,的选择,同样具有一定的经验性。一般的原则是:近期 数据的权效人,远期数据的权数小。至于人到什么稈度和小到什么程度,则需要按照预 测者对序饥的了解和分析来确定。 趋势移动平均法 简单移动平均法和加权移动平均法,在时间序列没有明显的趋势变动时,能够准确 反映实际情况。但当时间序列出现直线増加或减少的变动趋势时,用简单移动平均法和 加权移动平均法来预测就会岀现滞后偏差。因此,需要进行修正,修正的方法是作二次 移动平均,利用移动平均滞后偏差的规律米建立直线趋势的预测模型。这就是趋势移动 平均法。 次移动的平均数为 +∴ 在一次移动平均的基础上再进行一次移动平均就是二次移动平均,其计算公式为 D 下面讨论如何利用移动平均的潛后偏差建立直线趋势预测模型。 设时间序列从某时期开始具有直线趋势,且认为末来时期也按此直线趋势变 化,则可设此直线趋势预测模型为 其中为当前时期数;为由至预测期的时期数;为截距;为斜率。两者又称为 平滑系数 现在,我们根据移动平均值来确定平滑系数。由模型()可知 所以 +…十 因此 由式(),类似式()的推导,可得 所以 类似式()的推导,可得 于是,由式()和式()可得平滑系数的计算公式为 例我国 年的发电总量如表所示,试预测和年的发 电总量。 表我国发电量及一、二次移动平均值计算表 年份 发电总量 次移动平均 二次移动平均,= 解由散点图可以看出,发电总量基本呈直线上升趋势,可用趋势移动半均法 来预测。 图原始数据散点图 取三,分别计算次和二次移动平均值并列于衣中。 再由公式(),得 于是,得 时直线趋势预测模型为 预测年和年的发电总量为 计算的 程序如下: 把原始数据保存在纯文本文件中 为移动平均的项数 趋势移动平均法对于冋时存在直线趋势与厝期波动的序列,是种既能反映趋势变 化,又可以有效地分离出来周期变动的方法。 §指数半滑法 次移动平均实际上认为最近期数据对未来值影响相同,都力权一;而期 以前的数据对未来值没有影响,加权为。但是,二次及更高次移动平均数的权数却不 是—,且次数越高,权数的结构越复杂,但永远保持对称的权数,即两端项权数小, 中间项权薮大,不符合一般系统的动态性。一般说来历史数据对未来值的影响是随时间 间隔的增长而递减的。所以,更切合实际的方法应是对各期观测值依时间顺序进行加权 平均作为预测值。指数平滑法可满足这一要求,而且具有简单的递推形式 指数平滑法根据平滑次数的不同,又分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三 次指数平滑法等,分别介绍如下 次指数平滑法 .预测模型 设时间序列为 ,a为加权系数,<C<,一次指数平渭公式为 a -c 式()是由移动平均公式改进而米的。由式()知,移动平均数的递推公式为 以作为的最佳估计,则有 -181 令a=—,以代替 即得式() 为进一步理解指数平滑的实质,把式()依次展廾,有 ()式表明是全部历史数据的加权平均,加权系数分别为 Cc-ac-…;显然有 由于加权系数符合指数规律,又具有平滑数据的功能,故称为指数平滑。 以这种平滑值进行预测,就是一次指数平滑法。预测模型为 即 也就是以第期指数平滑值作为+期预测值 加权系数的选择 在进行指数平滑时,加权系数的选择是很重要的。由式()可以看出,c的大 小规定了在新预测值中新数据和原预测值所占的比重。a值越大,新数据所占的比重 就愈大,原预测值所占的比重就愈小,反之亦然。若把式()改写为 t a 则从上式可看出,新预测值是根据预测误差对原预测值进行修正而得到的。a的大小 则体现了修正的幅度,∝值愈人,修正幅度愈人;c值愈小,修正幅度也愈小。 若选取α=,则〓,即下期预测值就等于木期预测值,在预测过稈中不考 虑任何新信息;若选取a=,则 ,即下期预测值就等于本期观测值,完全不 相信过去的信息。这两种极端情况很难做岀正确的预测。因此,α值应根据时间序列 的具体性质在~之间选择。具体如何选择一般可遵循下列原则:(如果时间序列波 动不大,比较平稳,则a应取小“点,如( )。以减少修止幅度,使预测模型 能包含较长时间序列的信息:②如果时间序列具有迅速且明显的变动倾向,则a应取 大一点,如(~)。使预测模型灵敏度高一些,以便迅速跟上数据的变化。 在实用上,类似移动平均法,多取几个α值进行试算,看哪个预测误差小,就采 用哪个。 初始值的确定 用一次指数半滑法进行预测,除了选择合适的α外,还要确定初始值。初始值 是由预测者估计或指定的。当时间序列的数据较多,比如在个以上时,初始值对以 后的预测值影响很少,可选用第一期数据为初始值。如果时间序列的数据较少,在 个以下时,初始值对以后的预测值影响很大,这时,就必縯认真硏究如何正确确定初始 值。一般以最初几期实际值的平均值作为初始值。 例某市 年某种电器销售额如表所示。试预测年该电器销售 额 解采用指数平滑法,并分别取a= 和进行计算,初始值 即 按预测模型 计算各期预测值,列于表中。 表某种电器销售额及指数平滑预测值计算表(单位:万元) 年份 实际销售额 预测值 预测值 预测值 从表可以看出,c= 和时,预测值是很不相同的。究竟&取何值为好, 可通过计算它们的预测标准误差,近取使较小的那个c值。预测的标准误差见表 表顶测的标准误差 计算结果表明:α=时,较小,故选取α=,预测1988年该电器销售额 为 计算的 程序如下: 原始数据以列向量的方式存放在纯文本文件中 次指数平滑法 次指数平滑法虽然克服了移动平均法的缺点。但当时间序列的变动出现直线趋 势时,用一次指薮平滑法进行预测,仍存在明显的滞后偏差ε因此,也必须加以修正 修正的方法与趋势移动平均法相同,即再作二次指数平滑,利用滞后偏差的规律建立直 线趋势模型。这就是二次指数平滑法。其计算公式为 a -a 式中为一次指数的平滑值;为二次指数的半滑值。当时间序列,从某时 期开始具有直线趋势时,类似趋势移动平均法,可用直线趋势模型 = () 进行预测。 例仍以例我国 年的发电总量资料为例,试用二次指数平滑法预 测年和年的发电总量。 表我国发电总量及一、二次指数平滑值计算表 (单位:亿度) 年份 发电总量 次半消值二次半滑值 的估计值 【实例截图】
【核心代码】