实例介绍
【实例简介】
中科大的教材，属于基础类的数学课程，课本教材简单通俗易懂，望大家下载啊
前言 在自动控制专业中,线性代数或矩阵论是一个重要的数学基础.比如,矩阵范 数、矩阵函数及矩阵微分方程是线性系统理论必不可少的预备知识,线性系统多 变量频域法建立在多项式矩阵及有理分式矩阵理论基础上,现代鲁棒控制方法可 以采用线性矩阵不等式工具来实现.即便刈于非线性系统,除了需要引入更深刻的 数学工具之外,矩阵分析方法仍是不可或缺的手段因此,一些人学自动控制专业 特别将矩阵分析纳入研究生课程体系,就是要在人学本科线性代数的基础上,进一 步增加内容以符合控制相关学科的专业需求 作者在中国科学技术大学自动化系从事“控制理论中的代数基础”教学多年 从选择现成教材到开始自编讲义,讲义形式从电子版到胶印版,内容在不断扩充中 现在讲义内容己超出60至80学时的教学量,教师可以选择一部分讲授,其余部分 可以计学生自学或作为可随时查阅的参考书.本书涉及范围较广,编写中参阅了不 少经典文献.编写风格上追求叙述简洁、注重逻辑体系严谨性.因篇幅所限及个人 倾向性,本书很少讨论相关的计算方法,虽然算法问题也很重要.如果作为教学用 书,教师可自行选择讲授范围并增加一些实例.本书也可作为其它专业研究生、工 程师和科研人员的参考书. 本书共分八章.第一、二章扼要介绍抽象代数基础.第三、四章讲述线性空 间与线性映射,特别是不变子空间分解定理等.第五章从多项式矩阵入手,讨论多 项式矩阵 Smith标准形和复矩阵 ordan标准形,并介绍投影矩阵、正规矩阵和 Hermite二次型等.第六章介绍矩阵范数、矩阵级数和矩阵函数,并讨论线性系统 的稳定性、可控性与可观性.第七章包括各类广义逆矩阵、矩阵方程及矩阵不等 式.第八章讨论多项式矩阵的互质、分式矩阵的既约分解,以及线性系统的零极点 与实现理论. 在本书编写过程中,承蒙中国科学技术大学自动化系各位同仁的支持,特别是 奚宏生教授、吴刚教授的鼓励与支持.在本书排版与定稿过程中,中国科学技术大 学出版社张莹莹、沈轩和韩继伟等编辑提岀了宝贵意见并给予帮助.硏究生魏波、 王兴虎和陈珊杰对书稿进行了仔细校对.作者在此一并深表感谢.限于作者水平 书中不妥与错误之处在所难免,敬请读者批评指正. 作者 2008年春 lI 目录 第一章集合、映射与关系 31.1集合 1.2映射 习题1-1 1.3代数运算 12678 31.4代数关系 31.5等价类 10 习题12 第二章基本代数系统 14 2.1群 14 2.2环与域 16 2.2.1环 16 2.2.2域.. 19 §23代数系的同态 习题2-1 24子群与陪集 习题22 §25环的理想 §2.6多项式环 §27同态基本定理 423602 习题2-3 第三章线性空间与线性映射 44 531线性空间 44 532线性空间的基与维数 533线性映射 .52 习题3-1 57 34商空间 58 535对偶空间 目录 3.6内积空间 37酉变换 习题3-2.. 第四章线性变换与空间分解 75 §41不变子空间 75 42特征值问题 75 §43投影算子 77 §4.4最小多项式 §4.5空间互质分解 84 4.6空间循环分解 87 习题41 98 第五章相似变换与酉变换 101 5.1多项式矩阵 101 2 Smith标准形 106 53 Jordan标准形 110 习题5-1 118 54正交投影与正规矩阵 .120 55二次型 127 §5.6奇值分解 134 习题52.. 137 第六章矩阵范数与矩阵函数 140 56.1向量范数 140 56.2矩阵范数 .146 563向量和矩阵的极限 153 §6.4特征值与谱半径的估计 158 习题6-1 160 §6.5矩阵幂级数 162 66矩阵函数 .164 §6.7函数向量或矩阵的微积分 173 §68常用矩阵函数 176 §6.9线性系统的稳定性、可控性与可观性 179 目录 习题62 187 第七章广义逆矩阵、矩阵方程 189 §7.1广义逆矩阵 ..189 87.2 Penrose- Moore厂义逆矩阵 193 §7.3 Drazin逆与群逆 习题71.... 203 74矩阵的 Kronecker积 .204 37.5线性矩阵不等式 209 习题72 214 第八章多项式矩阵与有理分式矩阵 215 81多项式矩阵的理想 215 82多项式矩阵的因子与互质 .216 83有理分式矩阵 .225 84有理分式矩阵的既约分解 228 习题8-1 ..232 38.5系统矩阵的等价变换 233 §86线性系统的实现理论 239 87传递函数矩阵的状态空间实现与可控可观 242 88线性系统的零板点 249 习题8-2 25 参考书目 260 索引 261 目录 第一章集合、映射与关系 在认识世界的过程中,我们常常倾向于从一些具体事件中归纳出有规律性的 东西来.比如说,我们把数字与具体对象分离开来,得到初等数学中数的概念,并 给予了加、减、乘、除等运算规律:在髙等数学里,我们知道对向量、矩阵、函数等 可以进行类似的计算在数学上,往往重要的不是对象本身,而是对象之间的关系 这样就把对象抽象成集合.一般代数(或抽象代数)的主要内容就是研究所谓的代 数系统,即具有运算的集合.一般代数在数学的其它分支以及相关学科里都有重要 的作用.本书的前二章对一般代数作一个初步介绍 81.1集 集合的概念大家以前在不同场合会遇到过,这里我们来回顾一下有关的定义 及常用记号 若十个(有限或无限)确定的事物的全体叫做一个集合,组成一个集合的事 物叫做这个集合的元素.一个没有元素的集合称为空集.通常我们用大写字母 A,B,C,表示集合,用小写字母a,b,c,表示集合的元素,用②表示空集 面的二种方式都可以表示一个集合: A={a1,a2,} 其中第一种方式可用来表示有限或可列集合,第二种方式可读为满足条件P(x)的 所有x组成的集合 若a是集合A的一个元素,就说a属于A或A包含a,用符号a∈A或 A3a米表示;反之若a不是集A的元,就说a不属于A或A不包含a,用符号 agA或Aa米表示 若集合B的每一个元素都属于集合A,就说B是A的子集,用符号BcA 或A>B表示;否则就说B不是A的子集,用符号BgA或AB表示.任 集合A总可以空集和其自身A作为该集合的子集,这两个子集称为平凡子集 由一个集合A的所有子集作为元素而构成的集合,称为集A的幂集.不难证 明,如果集A是有限集,并具有n个元素则A的幂集将有2个元素.在这个意 义上我们常将A的幂集记为24 第一章集合、映射与关系 若集合A和集合B所包含的元素完全相同,那么A与B实际上表示同一个 集合,这时称A等于B,即A_B.显然有 A=B→ACB,AB 式中双向蕴含号“←→”表示其左右两边互为(充分必要的)等价命题 下面对二个集合A,B定义一些常见的运算 并集AUB={x:x∈A或r∈B} 交集A∩B={x:∈A且r∈B} 差集4\B={x:x∈A且xgB} 直积A×B={(x,y):∈A,y∈B} 集合的并和父都满足结合律与父换律,并且并与父之间还符合分配律,即对任 意三个集合A,B,C有 Au(B∩C)=(AUB)n(AUC) A∩(BUC)=(∩B)∪(A∩C) 在很多情况下,我们的矿究对象是限制在定的范围内,形成个基本集合 (全集),我们感兴趣的是基本集合里的了集之间的关系.现设有基本集合E,以及 其中的集合A(AcE),称差集E\A为集A的补集(余集),记x=E\A 作为直积的一个例子,两个实数集R的直积为平面点集R2=R×R 多个集合之直积可以类似地定义为 41×A2×……An={(x1,x2,…,mn):x;∈A,=1,2,…,m} 式中(x1,x2,,xn)是元有序组 812映射 我们知道,函数概念反映了数与数之间的对应关系,现在我们把函数意义推广 一下,考查一般集合里的元素之间的对应关系 定义1.21(映射)对于两个集合A和B,如果能够建立某种规则∫,使得对 任给a∈A,存在唯一的元b∈B与之对应,记为f:a口b或f(a)=b,那么就称 ∫是由集A到集B的一个映射,记作∫:A→B或A→B,其中a和b可分别叫 做映射f的原象与象 【实例截图】
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前言 在自动控制专业中,线性代数或矩阵论是一个重要的数学基础.比如,矩阵范 数、矩阵函数及矩阵微分方程是线性系统理论必不可少的预备知识,线性系统多 变量频域法建立在多项式矩阵及有理分式矩阵理论基础上,现代鲁棒控制方法可 以采用线性矩阵不等式工具来实现.即便刈于非线性系统,除了需要引入更深刻的 数学工具之外,矩阵分析方法仍是不可或缺的手段因此,一些人学自动控制专业 特别将矩阵分析纳入研究生课程体系,就是要在人学本科线性代数的基础上,进一 步增加内容以符合控制相关学科的专业需求 作者在中国科学技术大学自动化系从事“控制理论中的代数基础”教学多年 从选择现成教材到开始自编讲义,讲义形式从电子版到胶印版,内容在不断扩充中 现在讲义内容己超出60至80学时的教学量,教师可以选择一部分讲授,其余部分 可以计学生自学或作为可随时查阅的参考书.本书涉及范围较广,编写中参阅了不 少经典文献.编写风格上追求叙述简洁、注重逻辑体系严谨性.因篇幅所限及个人 倾向性,本书很少讨论相关的计算方法,虽然算法问题也很重要.如果作为教学用 书,教师可自行选择讲授范围并增加一些实例.本书也可作为其它专业研究生、工 程师和科研人员的参考书. 本书共分八章.第一、二章扼要介绍抽象代数基础.第三、四章讲述线性空 间与线性映射,特别是不变子空间分解定理等.第五章从多项式矩阵入手,讨论多 项式矩阵 Smith标准形和复矩阵 ordan标准形,并介绍投影矩阵、正规矩阵和 Hermite二次型等.第六章介绍矩阵范数、矩阵级数和矩阵函数,并讨论线性系统 的稳定性、可控性与可观性.第七章包括各类广义逆矩阵、矩阵方程及矩阵不等 式.第八章讨论多项式矩阵的互质、分式矩阵的既约分解,以及线性系统的零极点 与实现理论. 在本书编写过程中,承蒙中国科学技术大学自动化系各位同仁的支持,特别是 奚宏生教授、吴刚教授的鼓励与支持.在本书排版与定稿过程中,中国科学技术大 学出版社张莹莹、沈轩和韩继伟等编辑提岀了宝贵意见并给予帮助.硏究生魏波、 王兴虎和陈珊杰对书稿进行了仔细校对.作者在此一并深表感谢.限于作者水平 书中不妥与错误之处在所难免,敬请读者批评指正. 作者 2008年春 lI 目录 第一章集合、映射与关系 31.1集合 1.2映射 习题1-1 1.3代数运算 12678 31.4代数关系 31.5等价类 10 习题12 第二章基本代数系统 14 2.1群 14 2.2环与域 16 2.2.1环 16 2.2.2域.. 19 §23代数系的同态 习题2-1 24子群与陪集 习题22 §25环的理想 §2.6多项式环 §27同态基本定理 423602 习题2-3 第三章线性空间与线性映射 44 531线性空间 44 532线性空间的基与维数 533线性映射 .52 习题3-1 57 34商空间 58 535对偶空间 目录 3.6内积空间 37酉变换 习题3-2.. 第四章线性变换与空间分解 75 §41不变子空间 75 42特征值问题 75 §43投影算子 77 §4.4最小多项式 §4.5空间互质分解 84 4.6空间循环分解 87 习题41 98 第五章相似变换与酉变换 101 5.1多项式矩阵 101 2 Smith标准形 106 53 Jordan标准形 110 习题5-1 118 54正交投影与正规矩阵 .120 55二次型 127 §5.6奇值分解 134 习题52.. 137 第六章矩阵范数与矩阵函数 140 56.1向量范数 140 56.2矩阵范数 .146 563向量和矩阵的极限 153 §6.4特征值与谱半径的估计 158 习题6-1 160 §6.5矩阵幂级数 162 66矩阵函数 .164 §6.7函数向量或矩阵的微积分 173 §68常用矩阵函数 176 §6.9线性系统的稳定性、可控性与可观性 179 目录 习题62 187 第七章广义逆矩阵、矩阵方程 189 §7.1广义逆矩阵 ..189 87.2 Penrose- Moore厂义逆矩阵 193 §7.3 Drazin逆与群逆 习题71.... 203 74矩阵的 Kronecker积 .204 37.5线性矩阵不等式 209 习题72 214 第八章多项式矩阵与有理分式矩阵 215 81多项式矩阵的理想 215 82多项式矩阵的因子与互质 .216 83有理分式矩阵 .225 84有理分式矩阵的既约分解 228 习题8-1 ..232 38.5系统矩阵的等价变换 233 §86线性系统的实现理论 239 87传递函数矩阵的状态空间实现与可控可观 242 88线性系统的零板点 249 习题8-2 25 参考书目 260 索引 261 目录 第一章集合、映射与关系 在认识世界的过程中,我们常常倾向于从一些具体事件中归纳出有规律性的 东西来.比如说,我们把数字与具体对象分离开来,得到初等数学中数的概念,并 给予了加、减、乘、除等运算规律:在髙等数学里,我们知道对向量、矩阵、函数等 可以进行类似的计算在数学上,往往重要的不是对象本身,而是对象之间的关系 这样就把对象抽象成集合.一般代数(或抽象代数)的主要内容就是研究所谓的代 数系统,即具有运算的集合.一般代数在数学的其它分支以及相关学科里都有重要 的作用.本书的前二章对一般代数作一个初步介绍 81.1集 集合的概念大家以前在不同场合会遇到过,这里我们来回顾一下有关的定义 及常用记号 若十个(有限或无限)确定的事物的全体叫做一个集合,组成一个集合的事 物叫做这个集合的元素.一个没有元素的集合称为空集.通常我们用大写字母 A,B,C,表示集合,用小写字母a,b,c,表示集合的元素,用②表示空集 面的二种方式都可以表示一个集合: A={a1,a2,} 其中第一种方式可用来表示有限或可列集合,第二种方式可读为满足条件P(x)的 所有x组成的集合 若a是集合A的一个元素,就说a属于A或A包含a,用符号a∈A或 A3a米表示;反之若a不是集A的元,就说a不属于A或A不包含a,用符号 agA或Aa米表示 若集合B的每一个元素都属于集合A,就说B是A的子集,用符号BcA 或A>B表示;否则就说B不是A的子集,用符号BgA或AB表示.任 集合A总可以空集和其自身A作为该集合的子集,这两个子集称为平凡子集 由一个集合A的所有子集作为元素而构成的集合,称为集A的幂集.不难证 明,如果集A是有限集,并具有n个元素则A的幂集将有2个元素.在这个意 义上我们常将A的幂集记为24 第一章集合、映射与关系 若集合A和集合B所包含的元素完全相同,那么A与B实际上表示同一个 集合,这时称A等于B,即A_B.显然有 A=B→ACB,AB 式中双向蕴含号“←→”表示其左右两边互为(充分必要的)等价命题 下面对二个集合A,B定义一些常见的运算 并集AUB={x:x∈A或r∈B} 交集A∩B={x:∈A且r∈B} 差集4\B={x:x∈A且xgB} 直积A×B={(x,y):∈A,y∈B} 集合的并和父都满足结合律与父换律,并且并与父之间还符合分配律,即对任 意三个集合A,B,C有 Au(B∩C)=(AUB)n(AUC) A∩(BUC)=(∩B)∪(A∩C) 在很多情况下,我们的矿究对象是限制在定的范围内,形成个基本集合 (全集),我们感兴趣的是基本集合里的了集之间的关系.现设有基本集合E,以及 其中的集合A(AcE),称差集E\A为集A的补集(余集),记x=E\A 作为直积的一个例子,两个实数集R的直积为平面点集R2=R×R 多个集合之直积可以类似地定义为 41×A2×……An={(x1,x2,…,mn):x;∈A,=1,2,…,m} 式中(x1,x2,,xn)是元有序组 812映射 我们知道,函数概念反映了数与数之间的对应关系,现在我们把函数意义推广 一下,考查一般集合里的元素之间的对应关系 定义1.21(映射)对于两个集合A和B,如果能够建立某种规则∫,使得对 任给a∈A,存在唯一的元b∈B与之对应,记为f:a口b或f(a)=b,那么就称 ∫是由集A到集B的一个映射,记作∫:A→B或A→B,其中a和b可分别叫 做映射f的原象与象 【实例截图】
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