实例介绍
【实例简介】
基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划
208 机器人 1995年7月 b12,b 其中b.是第i个参数的第j位基因传统串级编码仅在参数的维数为1或2时有效,而交又编 码对参数个数不太敏感,使有效模式保持长度短度低的原则 23.2适合度自适应线性尺度变换 随着遗传过程的进行,群体会趋向一致,串之间的适合度差异七减小,这会降低遗传效率 通常线性尺度变换用于克服此困难,但在遗传开始时,希望好坏串之间的适合度差异较小,以 保持基因的多样性,最后希望差异变大以提高搜索效率.自适应线性尺度变换实现以上思想 af(k)+b f(k)>0 f(k)≤0 其中 f'mulr (k)fv(k) fmnx(k)一f。(k (3) b av(k)/x(k)一月(k)厂mt(k (4) fmul (k (5) 其中f(k)是对f(k)尺度变换后的k代群体中串的适合度,C是总迭代次数,fm是适合度乘 子,厂m是初始适合度乘子,Jm,分别是最大和平均适合度 23.3有效基因突变 突变的作用是保持群体中基因的多样性,但也可能破坏有效模式.标准突变的效果难以控 制,因而在目前的遗传算法应用中突变概率很低或为零.但从遗传学的角度看,突变是进化的 大原动力之一,不可忽视本文借助于有效基因的概念运用有效基因突变来保持有效基 因的下限值.有效基因是1或0,当发现某一基因位的基因1或0的总数低于某一下限时,把 相对的基因翻转过来以保持下限. 3关节空间最优运动规划问题 般的 OMPJS问题表述如下:给定一个带有转动或直线关节的开链操作手,考虑关节空 间的一类轨迹H(t),它们满足如下的约束 3.1动力学模型 r=D(H(t)H"(t)+h(H(t),H(t))+C(H(t)) (6) 其中z是力矩,D是惯量项,h是哥氏力和向心力项,C是重力项 3.2起始和终点条件 H(0)=B0,H(0)=Un,H"(0)=a0,H"(0)=j; (t)=6,H(t H"(t) H"(0) 3.3运动学约束 3.3.1障碍和关节角约束 H(t)∈Sp,t∈[0,t/,其中,SF-Sp-S0 其中SF,Sw,S分别是机器人关节空间的自由空间,工作空间和障碍空间. 17卷4期 悍为民等:基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划 209 33.2结点约束 H(t)∈P,P∈Sp,t∈[0,t,i=1,…,m,m是须经过的中间结点数 34动力学约束 3.4.1力矩约束 7(t)|≤Tm,t∈[0, (7) 其中Tm是关节j容许的最大力矩 3.4.2速度约束 H,(t)≤vmx,t∈[0, (8) 其中τm是关节j容许的最大速度 343加速度约束 H"()≤am;,t∈[0,t (9) 其中am是关节j容许的最大加速度 3.44跃动度约束 H°()!≤jmx,t∈[0,t (10) 3.4.5动态力约束 F()≤Fm,t∈[0,t (11) F()|≤F灬x,t∈[0,t (12) 其中F如x是作用在基座上容许的最大力,Fmx是作用在手爪上允许的最大力 35控制约束(光滑运动约束) H(t),H"(t),H"(t连续,t∈[0,t] OMPJS问题就是要寻找一条轨迹H(t),t∈[0,t],使之满足下列性能指标: J= mint,, 时间最优 (13) J=min|f(z)dt,时间能量最优 14) J=minf(j)dt,时间跃动度最优 (15) 以上阐述的是 OMPJS问题的一般形式,具体的OMPS问题考虑以上的部分约束及选择 某一性能指标,如考虑动力学约束(3.41,3.42,3.4.3,3.4.4),控制约束(3.5)和时间最优性 能指标(1),则称H()为带有力矩、速度、加速度和跃动度约束和控制约束的时间最优轨迹, 下一节以这一具体问题为例提出一种新算法 4基于GA的新算法 41算法结构 基于遗传算法的关节空间最优运动规划算法为 Stepl:给定起始点B,B,j=1,…,N,N为机器人的自由度,选择m个中间结点n,i 5re=1,…‘’nz,j=1,…,N构成路径,选择轨迹规划策略及编码方案 根据约束和性能指标定义适合度函数 机器人 5年?月 Step3:选择遗传算法参数与基因操作策略如群体大小n遗传代数ng,交换概率p等 sτep4:k=0,随机产生初始群体 step5:对串解码,运用递推轨迹规划法规划每一段轨迹 Step6:计算 Step7:计算串的适合度f,l=1,…,np Stcp8:统计群体的适合度,求最大,最小与平均话合度fm;,m,k sep9:运用基因操作产生新的群体,k=k+1 Step10:跳至Step5直到k=ηg或满足综合指标 Step11:得到最小运行时问t'和最优轨迹H'(t) 4.2运动规划策略 路径规划时选择多少个结点以及选择什么多项式进行轨迹规划取决于受到的约束和要求 的性能指标新的算法将在具有二次可导的光滑曲线空间中寻找最优轨迹,这与控制约束相 符这种情况下,有5(m+1)+1个边界条件连接m12个结点需n+1条曲线,5m个边界条 件决定m条四次多项式,6个边界条件决定1条五次多项式,故构成4-4-…4-5递推轧 迹规划策略轨迹段的四次和五次多项式用归一化时间t表达如下: H,(t)=C:t+C:t3C2t2|C:t+Co,=0,…,m-1 (16) H, ()=Ct+Cut'+Cit3-Cm242+Cut Cr.i=me 已知,,i=0,…,m+1,a=0,anm-1=0,每一轨迹段时间T,i-0,…,m,求得式(16) 的系数C为 (18) (19) 1 (20 C13=4(01-1-02) (21) 3(6 )+2T,+a:7 (2 结点i+1的加速度 12a1+6a3+2 推得公式(17)的系数C,为 Cao =6 (24) 1=v,T Ca=at (26) 0-孙4+2 (27) 15 一b (28) 17卷4期 恽为民等:基于遗传算法的机器人关节空同最优运动规划 211 b2+b3 (29) (30) b2 T 2C,-C, (31) 32) 4.3编码策略与基因操作方式 根据 Holland的模式定理,由较少符号编码的串含较多的全局信息,因此采用二进制码对 参数编码.由遗传算法搜索的路径和轨迹参数为 j=1,…,N,中间结点 中间结点速度 T1,i=0,…,m,每个轨迹段的运行时间 因此共有5mN+1个参数需编码,假设N=2,多参数交叉编码策略实施如下 To T 8, 2 T Duz b12 b 22 32 b Ds b bxn,…bm1bm34m2bn,bm 其中l是相应参数的编码长度,=0,…,m,=1,,5 基因的总个数为 L +>( 2+l3 +l4+iis 33 B 本文应用了适合度自适应线性尺度变换,柔性确定性采样复制,双点交换,有效基因突变 和保留最优串等基因操作方式,这些策略有效地进免了有效基因缺失和提高了效率 44适合度函数 遗传算法构成复杂的动态系统,是生物群体动态系统的简化模拟.适台度表示进化的方 向,实质是构成一种吸引子,使得系统的行为趋向于吸引之所映射的日标(MPJS问题的耗散 函数定义如下 gi->T+S*(TRUE(imax >Umx TRUE(ai, 1又 TRUE(imax >imax TrUe(Timex> T max)) (34) 其中g!是第k次遗传过程中,第l个串的耗数值,T,是第i轨迹段的运行时间,cim,aimx, j灬mx,Tm分别是第k次遗传过程中按第个串构成的轨迹的最大速度、加速度、跃动度和力 矩,TRUE是二值运算函数,逻辑式为“真”则函数值为1,反之为0.是加权系数 由于适合度烦大于0,故把耗散函数映射成适合度为 212 机器人 1995年7月 6,s≤ (35) 0 其中gmx是本次群体中最大的目标值 5二自由度机器人的仿真结果 一个二自由度机器人的结构见图2参数为:关节变量012∈[-r,r],02∈[-丌,r;连杆质 量:m1=50}kg,m2=30kg;连杆参数l1=l2=0.5m;转动惯量:1=5kgm2,I2=3kgm2.正运动 学为 cosc (1+62) Io =line,+Isin(, +0.) (36) 逆运动学方程为 2+y 22 (37) arctan arctan 1 +cos0 (38) 动力学公式 T1=(I1+I2+mn+5m242+m:cosa2)01 (I2+4m242+2m2cos6)0:-2m2sin=m2sn0, +(1m2cos(61+82)+1m10s+m2lcos01)g (39) r=(1+2+2m2c0)6,+(2+4mx2 十(M242.in02)6+m2lcos(61+2) (40) 速度、加速度、跃动度和力矩约束选择为 grad / se j=1,2 nOrad/ 1,2 imx 200rad /sec j= 1, 2 500Nr 200N 下面集中考察以下运动规划事例 起点为m=-2,On=0,即x0=0,y=-1,终点为=x,0n=0,即x=-1,y=0 开始和结束时的速度、加速度为0,位形设为“右手”,求最小时间轨迹 最简单的轨迹在关节空间是一条直线,02保持为0,见图3(a),目前的大多数工业机器人 采用这种策略这条轨迹的最小时间是22s作用在各个关节的速度、加速度跃动度和力矩 见图4.关节1的力矩从最大趋向最小 然后采用一个中间结点的路径策略,见图3(b),这时有T0,61,v1,612,v12和T1等6个参 17卷4期 悍为民等:基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划 213 数需要确定,其中T0,T1,分别是第一第二轨迹段 的运行时间01,612;v1,12分别是中间结点的角 度和速度.为了确定最小时间轨迹,需要通过上节 描述的算法搜索6个参数构成的空间得到以下 结果.一是轨迹运行时间降为1.7s,二是从图3 X (b)可看出,关节2驱动器首先向前运动然后返 回,帮助关节1驱动器运动得更快这说明了最佳 运动需充分利用机器人的动力学特性,三是力矩 方案变得复杂,这说明传统的最优控制理论难以 求得最优力矩方案图5显示了对应于这条轨迹 的速度、加速度、跃动度和力矩方案, 图22自由度机器人的参数 3.14 0.50 1.57 L.00 0.00 0.001.5 X 直角坐标空间 关节空间 (a)无中间结点 3.14 P 5了 Pt 1.57 0.00 0.50 直角坐标空间 关节空间 (b)一个中间结点(1.7s) 图3最小时间轨迹 214 机器人 1995年7月 5.00 0135 101 -3.00 0.00.29.5 L.9 0.00.20.61.王 时间(s) 时间(s (a)关节l的速度 b)关节2的速度 00 910.00 10.00 0.00 目-10.00 50.00 50.00 0.00.20.61.11.51.9 0.00.20.6 时间(s 时间(s) c)关节1的加速度 d)关节2的加遵度 200,00 20.00 ≤40.00 40.00 0.C0 80.00 40.00 40.00 120.00 120.00 200.00 00 0.00.20.61.1 0.00.20.6 时间(s 时间(s) (e)关节1的跃动度 (f)关节2的跃动度 500.00 300.00 12C.00 5100 100.00 500.00 500.0Q 0.00.20、61.1.5 0.00.20.61.11.51.9 时间(s) 时间(s) (R)关节1的力矩 (b)关节2的力矩 图4关节速度、加速度、跃动度和力矩(无中间结点) 17卷4期 恽为民等基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划 215 5.00 l.00 3.00 5.00 0.00.30.71.01.41.7 0.00.30.71.01.41.7 时间( 时间(s) a)关节1的速度 b)关节2的速度 0.00 10.00 0.00 10.00 L0.00 000.30.71.01.41.7 0.00 时间(s 时间(s) (c)关节1的加速度 ()关节2的加速度 200.00 209.00 120.00 40.00 40.00 200.00 200.00L 0.0 C.3 0.00 41.7 时间(s) 时间(s) (e)关节1的跃动度 (f关节2的跃动度 300.00 120.00 l00.00 z0.00 s-100.00 120.00 20000 0.00.30.71.01.4 0.00.3 1.7 时向(s) 时间(s (g)关节1的力矩 (h)关节2的力矩 图5关节速度、加速度、跃动度和力矩(有一个中间结点) 【实例截图】
【核心代码】
基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划
208 机器人 1995年7月 b12,b 其中b.是第i个参数的第j位基因传统串级编码仅在参数的维数为1或2时有效,而交又编 码对参数个数不太敏感,使有效模式保持长度短度低的原则 23.2适合度自适应线性尺度变换 随着遗传过程的进行,群体会趋向一致,串之间的适合度差异七减小,这会降低遗传效率 通常线性尺度变换用于克服此困难,但在遗传开始时,希望好坏串之间的适合度差异较小,以 保持基因的多样性,最后希望差异变大以提高搜索效率.自适应线性尺度变换实现以上思想 af(k)+b f(k)>0 f(k)≤0 其中 f'mulr (k)fv(k) fmnx(k)一f。(k (3) b av(k)/x(k)一月(k)厂mt(k (4) fmul (k (5) 其中f(k)是对f(k)尺度变换后的k代群体中串的适合度,C是总迭代次数,fm是适合度乘 子,厂m是初始适合度乘子,Jm,分别是最大和平均适合度 23.3有效基因突变 突变的作用是保持群体中基因的多样性,但也可能破坏有效模式.标准突变的效果难以控 制,因而在目前的遗传算法应用中突变概率很低或为零.但从遗传学的角度看,突变是进化的 大原动力之一,不可忽视本文借助于有效基因的概念运用有效基因突变来保持有效基 因的下限值.有效基因是1或0,当发现某一基因位的基因1或0的总数低于某一下限时,把 相对的基因翻转过来以保持下限. 3关节空间最优运动规划问题 般的 OMPJS问题表述如下:给定一个带有转动或直线关节的开链操作手,考虑关节空 间的一类轨迹H(t),它们满足如下的约束 3.1动力学模型 r=D(H(t)H"(t)+h(H(t),H(t))+C(H(t)) (6) 其中z是力矩,D是惯量项,h是哥氏力和向心力项,C是重力项 3.2起始和终点条件 H(0)=B0,H(0)=Un,H"(0)=a0,H"(0)=j; (t)=6,H(t H"(t) H"(0) 3.3运动学约束 3.3.1障碍和关节角约束 H(t)∈Sp,t∈[0,t/,其中,SF-Sp-S0 其中SF,Sw,S分别是机器人关节空间的自由空间,工作空间和障碍空间. 17卷4期 悍为民等:基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划 209 33.2结点约束 H(t)∈P,P∈Sp,t∈[0,t,i=1,…,m,m是须经过的中间结点数 34动力学约束 3.4.1力矩约束 7(t)|≤Tm,t∈[0, (7) 其中Tm是关节j容许的最大力矩 3.4.2速度约束 H,(t)≤vmx,t∈[0, (8) 其中τm是关节j容许的最大速度 343加速度约束 H"()≤am;,t∈[0,t (9) 其中am是关节j容许的最大加速度 3.44跃动度约束 H°()!≤jmx,t∈[0,t (10) 3.4.5动态力约束 F()≤Fm,t∈[0,t (11) F()|≤F灬x,t∈[0,t (12) 其中F如x是作用在基座上容许的最大力,Fmx是作用在手爪上允许的最大力 35控制约束(光滑运动约束) H(t),H"(t),H"(t连续,t∈[0,t] OMPJS问题就是要寻找一条轨迹H(t),t∈[0,t],使之满足下列性能指标: J= mint,, 时间最优 (13) J=min|f(z)dt,时间能量最优 14) J=minf(j)dt,时间跃动度最优 (15) 以上阐述的是 OMPJS问题的一般形式,具体的OMPS问题考虑以上的部分约束及选择 某一性能指标,如考虑动力学约束(3.41,3.42,3.4.3,3.4.4),控制约束(3.5)和时间最优性 能指标(1),则称H()为带有力矩、速度、加速度和跃动度约束和控制约束的时间最优轨迹, 下一节以这一具体问题为例提出一种新算法 4基于GA的新算法 41算法结构 基于遗传算法的关节空间最优运动规划算法为 Stepl:给定起始点B,B,j=1,…,N,N为机器人的自由度,选择m个中间结点n,i 5re=1,…‘’nz,j=1,…,N构成路径,选择轨迹规划策略及编码方案 根据约束和性能指标定义适合度函数 机器人 5年?月 Step3:选择遗传算法参数与基因操作策略如群体大小n遗传代数ng,交换概率p等 sτep4:k=0,随机产生初始群体 step5:对串解码,运用递推轨迹规划法规划每一段轨迹 Step6:计算 Step7:计算串的适合度f,l=1,…,np Stcp8:统计群体的适合度,求最大,最小与平均话合度fm;,m,k sep9:运用基因操作产生新的群体,k=k+1 Step10:跳至Step5直到k=ηg或满足综合指标 Step11:得到最小运行时问t'和最优轨迹H'(t) 4.2运动规划策略 路径规划时选择多少个结点以及选择什么多项式进行轨迹规划取决于受到的约束和要求 的性能指标新的算法将在具有二次可导的光滑曲线空间中寻找最优轨迹,这与控制约束相 符这种情况下,有5(m+1)+1个边界条件连接m12个结点需n+1条曲线,5m个边界条 件决定m条四次多项式,6个边界条件决定1条五次多项式,故构成4-4-…4-5递推轧 迹规划策略轨迹段的四次和五次多项式用归一化时间t表达如下: H,(t)=C:t+C:t3C2t2|C:t+Co,=0,…,m-1 (16) H, ()=Ct+Cut'+Cit3-Cm242+Cut Cr.i=me 已知,,i=0,…,m+1,a=0,anm-1=0,每一轨迹段时间T,i-0,…,m,求得式(16) 的系数C为 (18) (19) 1 (20 C13=4(01-1-02) (21) 3(6 )+2T,+a:7 (2 结点i+1的加速度 12a1+6a3+2 推得公式(17)的系数C,为 Cao =6 (24) 1=v,T Ca=at (26) 0-孙4+2 (27) 15 一b (28) 17卷4期 恽为民等:基于遗传算法的机器人关节空同最优运动规划 211 b2+b3 (29) (30) b2 T 2C,-C, (31) 32) 4.3编码策略与基因操作方式 根据 Holland的模式定理,由较少符号编码的串含较多的全局信息,因此采用二进制码对 参数编码.由遗传算法搜索的路径和轨迹参数为 j=1,…,N,中间结点 中间结点速度 T1,i=0,…,m,每个轨迹段的运行时间 因此共有5mN+1个参数需编码,假设N=2,多参数交叉编码策略实施如下 To T 8, 2 T Duz b12 b 22 32 b Ds b bxn,…bm1bm34m2bn,bm 其中l是相应参数的编码长度,=0,…,m,=1,,5 基因的总个数为 L +>( 2+l3 +l4+iis 33 B 本文应用了适合度自适应线性尺度变换,柔性确定性采样复制,双点交换,有效基因突变 和保留最优串等基因操作方式,这些策略有效地进免了有效基因缺失和提高了效率 44适合度函数 遗传算法构成复杂的动态系统,是生物群体动态系统的简化模拟.适台度表示进化的方 向,实质是构成一种吸引子,使得系统的行为趋向于吸引之所映射的日标(MPJS问题的耗散 函数定义如下 gi->T+S*(TRUE(imax >Umx TRUE(ai, 1又 TRUE(imax >imax TrUe(Timex> T max)) (34) 其中g!是第k次遗传过程中,第l个串的耗数值,T,是第i轨迹段的运行时间,cim,aimx, j灬mx,Tm分别是第k次遗传过程中按第个串构成的轨迹的最大速度、加速度、跃动度和力 矩,TRUE是二值运算函数,逻辑式为“真”则函数值为1,反之为0.是加权系数 由于适合度烦大于0,故把耗散函数映射成适合度为 212 机器人 1995年7月 6,s≤ (35) 0 其中gmx是本次群体中最大的目标值 5二自由度机器人的仿真结果 一个二自由度机器人的结构见图2参数为:关节变量012∈[-r,r],02∈[-丌,r;连杆质 量:m1=50}kg,m2=30kg;连杆参数l1=l2=0.5m;转动惯量:1=5kgm2,I2=3kgm2.正运动 学为 cosc (1+62) Io =line,+Isin(, +0.) (36) 逆运动学方程为 2+y 22 (37) arctan arctan 1 +cos0 (38) 动力学公式 T1=(I1+I2+mn+5m242+m:cosa2)01 (I2+4m242+2m2cos6)0:-2m2sin=m2sn0, +(1m2cos(61+82)+1m10s+m2lcos01)g (39) r=(1+2+2m2c0)6,+(2+4mx2 十(M242.in02)6+m2lcos(61+2) (40) 速度、加速度、跃动度和力矩约束选择为 grad / se j=1,2 nOrad/ 1,2 imx 200rad /sec j= 1, 2 500Nr 200N 下面集中考察以下运动规划事例 起点为m=-2,On=0,即x0=0,y=-1,终点为=x,0n=0,即x=-1,y=0 开始和结束时的速度、加速度为0,位形设为“右手”,求最小时间轨迹 最简单的轨迹在关节空间是一条直线,02保持为0,见图3(a),目前的大多数工业机器人 采用这种策略这条轨迹的最小时间是22s作用在各个关节的速度、加速度跃动度和力矩 见图4.关节1的力矩从最大趋向最小 然后采用一个中间结点的路径策略,见图3(b),这时有T0,61,v1,612,v12和T1等6个参 17卷4期 悍为民等:基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划 213 数需要确定,其中T0,T1,分别是第一第二轨迹段 的运行时间01,612;v1,12分别是中间结点的角 度和速度.为了确定最小时间轨迹,需要通过上节 描述的算法搜索6个参数构成的空间得到以下 结果.一是轨迹运行时间降为1.7s,二是从图3 X (b)可看出,关节2驱动器首先向前运动然后返 回,帮助关节1驱动器运动得更快这说明了最佳 运动需充分利用机器人的动力学特性,三是力矩 方案变得复杂,这说明传统的最优控制理论难以 求得最优力矩方案图5显示了对应于这条轨迹 的速度、加速度、跃动度和力矩方案, 图22自由度机器人的参数 3.14 0.50 1.57 L.00 0.00 0.001.5 X 直角坐标空间 关节空间 (a)无中间结点 3.14 P 5了 Pt 1.57 0.00 0.50 直角坐标空间 关节空间 (b)一个中间结点(1.7s) 图3最小时间轨迹 214 机器人 1995年7月 5.00 0135 101 -3.00 0.00.29.5 L.9 0.00.20.61.王 时间(s) 时间(s (a)关节l的速度 b)关节2的速度 00 910.00 10.00 0.00 目-10.00 50.00 50.00 0.00.20.61.11.51.9 0.00.20.6 时间(s 时间(s) c)关节1的加速度 d)关节2的加遵度 200,00 20.00 ≤40.00 40.00 0.C0 80.00 40.00 40.00 120.00 120.00 200.00 00 0.00.20.61.1 0.00.20.6 时间(s 时间(s) (e)关节1的跃动度 (f)关节2的跃动度 500.00 300.00 12C.00 5100 100.00 500.00 500.0Q 0.00.20、61.1.5 0.00.20.61.11.51.9 时间(s) 时间(s) (R)关节1的力矩 (b)关节2的力矩 图4关节速度、加速度、跃动度和力矩(无中间结点) 17卷4期 恽为民等基于遗传算法的机器人关节空间最优运动规划 215 5.00 l.00 3.00 5.00 0.00.30.71.01.41.7 0.00.30.71.01.41.7 时间( 时间(s) a)关节1的速度 b)关节2的速度 0.00 10.00 0.00 10.00 L0.00 000.30.71.01.41.7 0.00 时间(s 时间(s) (c)关节1的加速度 ()关节2的加速度 200.00 209.00 120.00 40.00 40.00 200.00 200.00L 0.0 C.3 0.00 41.7 时间(s) 时间(s) (e)关节1的跃动度 (f关节2的跃动度 300.00 120.00 l00.00 z0.00 s-100.00 120.00 20000 0.00.30.71.01.4 0.00.3 1.7 时向(s) 时间(s (g)关节1的力矩 (h)关节2的力矩 图5关节速度、加速度、跃动度和力矩(有一个中间结点) 【实例截图】
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