数学分析习题演练3（周民强）

【实例简介】
数学分析中不错的习题集，适合初学者使用的辅导书，全书涉及的内容丰富，值得你去完整的做一遍。
1.2多元函数及其极限 (1)设ECR是非空点集,则d(X,E)作为X∈R的函数是一致连续的 (2)设FCR是非空闭集,X∈R",则存在Y∈F,使得‖X d(Xo, F) (3)设ECR2是凸集,则E是凸集 证明(3)设X1,X2∈E,且不妨认定X∈aEE(i=1,2)现在假定过点 X X2之直线段XX2中有点X:X6∈E,则存在邻域U(X,6):U(X0,8)∩E=∞ 再作U1=U(X1,6/2),U2=U(X2,B/2),以及此两圆之平行公切线P1P2, QQ,由于X1,X2是E的极限点,故存在x1∈U1∩E,X2∈U2∩E,且XX2∩ U(X0,)≠.但根据E的凸性,必有XX2CE,导致矛盾 1.2多元函数及其极限 设EE是两个集合,f是一种对应规则对X∈E,可由f唯一确定Y∈E(称为对应着一个 元Y).这种从E到E的对应规则f称为映射或变换,记作 f:E→E,Y=f(X)∈E(X∈E) 此时,称E为f的定义域:E称为f的取值域,而点集f(E)={Y:Y=f(X),X∈E称为∫的值域 定义121设f:E→E.若对K1∈E,X2∈E,总有f(X1)≠f(X2),则称∫为单(映)射;若 T(E)=E,则称f为满(映)射若f是单射且是满射则称∫为双射(E与E的元素之间存在一 对应);此时可定义逆映射(仍记为)f:E→E为Y∈E,f1(Y)=X∈E(其中f(X)=Y.易 知广1[f(X)]=X(X∈E) 定义12.2设ECR",称f:E→R"为多元向量函数若m=1,则f是R"上的多元(实值 函数.如二元函数z=f(x,y),其中(x,y)∈R2,z∈R 向量函数可用多元函数组成向量表示,例如f:ECR2→R2,则 f(x,y)=(f1(x,y),f2(x,y),f1:E→R,f2:E→R n元函数x=f(X)=f(x1,x2,…,x)可在R+中用一个点集{x1,x2,…,xn,x):(x1,…, xn)∈E,z∈R)表示,二元函数的几何意义就是R3中通常意义下的曲面 二元函数除用曲面表示外,也可用平面上一系列 等位线来表示.称平面点集 (x,y):f(x,y)=C} 为曲面z=f(x,y)的等位线或等高线,它是垂直于z 轴的平面z=C与曲面z=f(x,y)的交线在xOy平面 上的投影(图1.1) 三元函数t=f(x,y,z)是四维空间中的点集,用 等位面的方法可以给出它在三维空间中的几何表示 定义1.2.3设f(x,y)是定义在凸区域DcR2 P 上的函数若对D内任意两点X1=(x1,y1),X2=X (x2y2),均有 第1章多元函数的极限与连续性 ftx1+(1-t)x2,ty1+(1-t)y2]≤tf(x1,y1)+(1-t)f(x2,y2), 则称f(x,y)是凸域D上的凸函数 定义124设在R上的函数满足:对任意的t>0,均有 f(x1,tx2…txn)=tf( 则称f是k次齐次函数 定义1.2.5(重极限)设ECR",f:E→R,M∈E,Y∈R,对任给E>0,存在8>0,使得 f(X)-Y0‖<∈(0<‖X-X‖<8) 则称f(X)在点X趋于X0时有极限Y。,记为 imf(X)=Y6(X是E之内点时,记为imf(X)=Y0) X∈E 定理1.2.1设f:ECR→R,则limf(X)=Y当且仅当,对任意点列{X}CE:X→X X一X X∈E (k→∞),必有limf(X)=Y(f(X)Y0(k-∞) 类似一元函数,多元函数仍具有极限唯一性、保序性、局部有界性,四则运算规则仍成立 定义126设f(x,y)在0<|x-x0<a,0<|y-y|<a上定义若对任意固定的值 y0<ly=y<a),当x→x0时,函数f(x,y)的极限存在,记为lmf(x,y)=g(y);又当y→+y 时,函数q(y)的极根存在,记lmg(y)=A.则称A是函数f(x,y)先对x后对y的累次极限,记 作 lim lim f(x,y)=A y 同样可定义先对y后对x的累次极限: lim lim f(x,y) x0y“y0 从上述定义可以悟出,我们还能引进所谓路径极限的概念.以f(x,y)在点(x0,y)的情形 为例设x=g(t),y=(t)是过点(x0,%)的任一条连续曲线(xo=g(to),y=纵t),若有 f(o(t),D(r))=A, 则称f(x,y)在动点(x,y)沿路径(gφ)趋于(xoy)时有极限A 注1显然若重极限mf(x,y)=A存在,则f(x,y)的任一路径极限也存在且等于 (x,y)一《0 A.特别在路径为x=x,y=kx(k是常数)时,称该极限为方向(或向径)极限,由此可知,如果f 存在不同的路径极限,那么其重极限一定不存在 注2设f(x,y)在(x0,y)的邻域上有定义,若对任一满足lmg(x)=y的曲线y=g(x), 均有 lim fLr,g(x)]=A,则未必存在limf(x,y)=A.例如f(0,y)=1,f(x,y)=0(x≠0) 定理122设f(x,y在0<x-x0<a0<|y-y<a上定义,且imf(x,y)=A(有 y 限或无限),又对任意固定的y(0<1y-y<a),有imf(x,y)=g(y),则 limlim f(r, y)= lim gp (y)=A 注若定理中imf(x,y)=以y)存在改为lmf(x,y)=以x)存在,则有 lim lim f(x,y)=A d“F“n 上述定理说明,若全面极限存在,两个内层极限存在,则两个累次极限一定存在且相等,或 两个累次极限可交换求极限顺序: 1.2多元函数及其极限 5 lim lim f(r,y)=lim lim f(r, y) 反之,若两个累次极限存在但不等,则全面极限一定不存在 定义1.2,7设f:R→R,A∈R.若对任给c>0,存在M>0,使得 f(X)-A|<ε(‖X‖≥M 则称f(X)在X趋于无穷时有极限A,记为lmf(X)=A x→ 例1.2.1设f(x,y)是R2上单变量连续的函数,则f不是单射 证明反证法.假定f是单射,我们令g(x)=f(x,0)(x∈R),则g∈CR) 又记p(0)=a,g(1)=b,则由单射可知a≠b.不妨设a<b,注意到p的连续性,可 得[g(0),g(1)]=[a,b].特别地,存在x0∈(0,1),使得g(x0)=(a+b)/2 现在令y(y)=f(xo,y)(y∈R),则y∈C(R),且有 (0)=f(xo,0)=g(x0)=(a+b)/2. 因此,a<(0)<b,<y)<b(y∈U(0,).即a<f(x,y)<b(y∈U(0,8)) 此外,易知{f(x,0):0≤x<1}-(a,b).也就是说,对某个y0≠0与x1,有等式 f(x0·y)=f(x1,0),这与单射矛盾 例1.2.2设D是R2中的凸区域,f:D→R是凸函数,则对任意的a∈R,点 集E={(x,y)∈D:f(x,y)≤a}是凸集 证明设(x1,y),(x2,y2)是E中任意两点则f(x1,y)≤a,f(x2,y2)≤a 从而对0<t<1,我们有 f(tx1+(1-t)x2,ty1+(1-t)y2)≤tf(x1,y1)+(1-t)f(x2,y2) ≤ta+(1-t) 这说明(tx1+(1-t)x2,ty1+(1-t)y2)∈E,即E是凸集 例12.3试论下列函数在指定点的重极限,累次极限 (1)f(x,y)=(x-y)/(x+y),(xo,y)=(0,0) (2)f(x,y)=x2y2/(x2y2+(x-y)2),(x0,y)=(0,0) (3)f(x,y)=(x+y)sin(1/x)sin(1/y),(x,y2)=(0,0) 解(1)累次极限存在: lim limf(x,y)=lim =1, lim limf(r, y)=lim -y=- r0文 而对两点列(xn,yn)=(1/n,1/n),(xn,y)=(2/n,1/n)(n∈N),我们有 这说明重极限不存在 (2)注意到imf(x,y)=0(x≠0),imf(x,y)=0(y≠0),故知两个累次极限 x一0 均为0.但是因为lmf(1/n,1/n)=1,limf(1/n,-1/n)=0,所以重极限不存在 第1章多元函数的极限与连续性 (3)注意到f(1/nr,y)=0,f(2/(4n+1)x,y)→ysin1(n→∞),故知累次极 限不存在此外,因为有0≤f(x,y)≤|x+y,所以limf(x,y)=0 (x,y)→(0,0) 例1.2.4解答下列问题: (1)试求f(x,y)=(x2+4x-4y)/(y2+6y-6x)当点(x,y)沿曲线y2+ x2y-x2=0趋于(0,0)时的路径极限 10,1yl≤x或y≠ (2)试论f(x,y=1,y|>x2或y 的向经极限(包括累次极限) (3)试论f(x,y)=x2e(2y在动点x=tcos,y=tsin以t→+∞时的极限 解(1)易知该路径曲线在原点的切线有两条:y=±x,因此用变量替换y= tx,该曲线及其极限过程可表示为 x=(1-t2)/t,y=1-t2;(x,y)→(0,0)~t→±1. 从而我们有 imnf(x,y)=im91-2)3+4(1-()/=4(1-2 (x,y)→(0,0 t→士1(1 2+6(1-t2)-6(1-t2)/t 3/2,t→+1 2/3,t→-1. (2)易知各方向的方向极限为0,累次极限为 lim limf(u, y)=lim0-0, lim limf(x, y)= liml=1 x一0y- y-0x→+0 (3)令F(t,0)=f( cost,tsin0),则 F(t,0)=t2cos2eom(-r≤≤r) 若a=士/2,则F(t,士π/2)=0.从而lmF(t,±r/2)=0, 若≠±π/2,则cos0≠0,且知lim(tcos30-tsin0)=+∞.从而依L’ Hospi ta法则可得 lim F(t, 0)= cos 0 lim cos lir 2t t--foo (*+o(2tcos28-sin])ef cos6-esino T-++ o(cos2- sine/2t)ef cos e-tsing o(limf(,7)=+oo). cos 0 lin 例1.2,5试论下列函数f(x,y)在(0,0)点处的重极限: (1) (2) (3) (4) x2+y2+(x-y)2 (5) (6) + 7)|y|x.(8)|y|nl 解(1)考察向径极限,即令y=kx,我们有 (1+k2)x2 +k2 Imf(t,Rr)=Iim [(1+k2)+(1一k)2x21+k2+(1一k 1.2多元函数及其极限 由于k可取不同值,故重极限不存在 (2)limf(x,kx2)=k/(1+k2),重极限不存在 (3)注意到f(x,kx)=kx2/(1+k)x→0(x→0),又有 +x2 +x3)/ 故重极限不存在 (4)注意到f(x,0)=1/x2+∞(x→+0),又有 limf(r,x)=lim(r2+x)/(x2+xt)=1, 故重极限不存在 (5)注意到f(x,0)=x→+0(x→+0),又有 limf(x,x2-x2)=lim[r3+(x )3]/x3=lim[1+(x2-x)3]=1, 故重极限不存在 (6)注意到f(x,x)=x/2~0(x→0),又有 limf(x, x2-x)=li 4-2x5+ 3x5+ 故重极限不存在 (7)令|y|=e(>0),易知|y|→0(|x|→0),又有 Im )= lime -Afla- lime 故重极限不存在 (8)注意到f(x,x)→0(x-0).又有f(x,a/lnx)=|a|,故重极限不存在 例126试证明下列极限等式: 32 (1)l TV tm (x,y)(0,0)x4+ (2) im (x,y)+(0,0)x2+ (3) lim y x,y)→(0,0) 证明(1)只需注意 .I 1/2 0≤ 0(y→0) (2)只需注意 =(x2+y2) 1x2+y2|+|xy 2 + x2+y2|+|xy|≤ 3|x2+ (也可采用下一题的解法) (3)令x= rcost,y= rsint,则 y LIm )→(0,0 lim I rsintcost I< limr=0 8 第1章多元函数的极限与连续性 例1.2.7试证明下列极限等式: sin(x+ (1)= lim SInC y (2)Ⅰ=lim x-y-(0.0) 证明(1)令x=rco,y=rsin,并注意不等式 sin(x+y=x+ya I r(cos 0+sin 0)I<l 2r I + (2)注意 SInt y sIn.y a·1(x0) 例1.28试论下列函数f(x,y)在点(0,0)处的重极限: (1)(x+y)ln(x2+y2).(2)1n(1+xy)(x+tany).(3)(x2+y2)xy 解(1)令x=rcos,y=rsin,我们有 I f(r,y)|=I r(coso+ sino)Inr2Isl arln 故f(x,y)→-0(x,y)-(0,0) (2)注意到f(x,0)=0,另一方面又有 r) In (1-x In(1 1/x2 r-tanr tanr lim In(l-x2)/= 1, lim + r=0x—tanx 故重极限不存在. (3)取对数再用参变量,我们有 &,y lim e(+y22Int.2+y2 lme x.y)→+(0,0) 例1.2.9试求下列函数f(x,y)的累次极限: I1=lim limf(r, y), I2= lim limf(x, y). + +y\b= b=0 (3) sin-Itr/a=∞ (4)tan 2x+ xy1+xy(b=∞F (5) log (rty) 0 x2/y2+1 1+y2 NE (1)I1-limlim /y t320: I,=lim lim 工元y一x y1+y4/x2 1 (2)注意到limx=1,limx3=+∞(y>0),故1=22=1. (3)易知 limina.I=0, limin 23+=1,故l1=0,2=1 兀x oxy 1.2多元函数及其极限 (4)因为我们有lnf(x,y)=0(x≠0),以及 limf(r, y)=lin tan[xy/(1+ry xy/(1+xy) (1+xy)1= 所以l1=0,12=1. (5)改写f(x,y)=ln(x+y)/lnx(x>0,x+y>0,x≠1),易知 (x+y) nr 此外,因为我们有 nt r y<0, In n In(r t y) In In(x+ y 1( Int 所以不存在lmf(x,y).从而I2不存在 例1.2,10试求下列函数f(x,y)的重极限I: x→-+ox (2) y (3)(x2+y2)e+y/x++∞o ty tx+y (5)(1+ y ra 解(1)注意到x2-xy+y2≥xy,故可得 0< (2)注意到0<f(x,y) +y≤1+1,故1=0 (3)注意到f(x,y)=x2/e+y+y2/e<x2/e+y2/e”,故I=0. (4)注意到0<f(x,y)≤(1/2),故I=0 (5)取对数,我们有imf(x,y)= lim end+1(1+m x=+∞ 例1.2.1试论下列函数f(x,y)在指定点的极限状况 (1)e+y),(0,0).(2)e2-y2,in(2xy),(-∞,+∞) 解(1)因为f(x,y)=ew,所以当cos≤0即π/2≤≤3π/2时,极限存在 (2)作变量替换x=rcos0,y= rind,我们有 10 第1章多元函数的极限与连续性 lim f(r, y)= lim er aee. sin(r sin20) 由此可知,当c0s2<0或sm2=0即<0<,4<0<4,=0,B=x时板限 存在, 例1.2.12试证明下列命题: (1)设f(x,y)在区域D上定义,(x0,y)∈D.若 caM f(r,y)=A, (ii) limf(x,y)=p(y)(y=yo) (i) li 则 limlim f(x,y)=A. Yoro (2)设f(x,y)在区域D上定义,(x0,y)∈D.若 (i)limf(x,y)=y(y)(y=yo rIo (i)存在n0,l={x,0<x-x<y,使得 limf(x,y)=g(x)(关于x∈I一致), JAr] limlim f(r, y)=limlim f(r, y) 证明(1)只需指出存在极限limg(y),这是因为由此必知其极限为A.事实 上,对任给ε>0,根据题设可知,存在>0,使得 !f(x,y)-A<ε,|f(x,y)-g(y)k<∈(0≤ <8) 由此推得|g(y)-A|<2c(0<|y-y<8) 现在对上述e,δ,在0<|x-x0<8时,我们有 f(x,y)-f(x,y")|< 令x→*x,即得|g(y)-g(y)<e.这说明存在极限limg(y (2)由(i)知,对任给ε>0,存在δ>0,使得 I f(r, y) <ε/2(0<y-y|<δ,x∈) 从而当0<1y-y01<8且x∈I时,就有f(x,y)-f(x,y)<e令x-x0,由(i) 可得|y)-以y)≤e这说明存在limy(y)A.因此,存在8>0:8<8,当0< ly-y<δ时,导出 f(x,y)-E/2 ≤f(x,y)+g/2(x∈D), 以及A-E/2<y)<A+ε/2.综合上述结果,我们有 A-E<y(y)-e/2≤limg(x)≤lmg(x)≤y(y)+e/2<A+c 因为ε是任意给定的,所以im(x)=A 例1.2.13试证明下列命题: (1)设f(x)在区间ICR上一致连续,J1,J2是R中两个区间,g(x,y)定义 【实例截图】
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