随机过程习题集及答案

【实例简介】
随机过程的习题，对随机过程的学习很有帮助
内容提要 ………………(244) (一)匹配滤波 …………(244) (二)信号参量的估计……… (245) (三)波形估计 晷···■ (252) 例题 (258) 练习题 (298) 练习题答案 (305) 参考书 (319) 第一章随机过程的基本概念 内容提要 (一)随机过程的描述 1。定义 设E={e是一样本空间,若对每一时刻∈7都有定义在E上 的随机变量X(et),则称一族随机变量{X(e,t)e∈E∈T}为 随机过程。通常简化为{X(t),t∈T} 2.统计描述 随机过程在时刻概率分布函数为 x(x,t)仝P[X(#)≤x 相应的概率密度函数为 人 aFx(z, Pr(a 并且有 x(x,) prs, t)dx 相应的特征函数为 φxU,)仝 Text{X(t)U} 随机过程的联合概率分布函数为 Fe tu)全P[X(t1)≤x1, Xt)≤xa 其联合概率密度函数为 2 △F(x1x2,…xn打,t…t) x1ax2…x 相应的特征函数为 Un, t) △E〔exp{∑X(t)Uk}〕 h=1 3.一般分类 (1)连续随机过程状态连续、时间参数连续的随机过程称 为连续随机过程 (2)离散随机过程状态离散、时间参数连续的随机过程称 为离散随机过程y (3)连续随机序列状态连续、吋间参数离散的随机过程称 为连续随机序列 (4)离散随机序列状态离散、时间参数离散的随机过程称 为离散随机序列。 二)随机过程的效字特征 设随机过程{X(切),t∈T}在t、t2时刻的取值为1、x2,其 数字特征分别定义为: 1。均值(数学期望 mx()=EX()] p(a, 2。均方值 P2(1)=ECX2())= x2p(r,t)dx 3.方差 σ(=E{〔X(-m1x()2 x-mx(t)〕2p(x,tdx 2 一:“ era,d 自相关函数 Rrt,, t2)=ELX()X(t2) rrap(r, 2s ti, t2),dxx 5。协方差 Cx(ti, t2)=ECX(t,)--mx(t)CX(t2)-mx(t2))) Rx(ti, t2)-mx(t)mx(t2) ￥t=t2=时,有 x29 ()=Rx(t,)-m() 如果随机过程{X(1),t∈T是平稳随机过程,则有 2(t)= 3。录()= 4。Rx(t12t2)=Rx(τ)r=t1-t2 5。Cx(t1,t2)=Rx(τ) X 2 X 随机过程可以是复函数,定义复随机过程为 z(t)=x(t)+/Y( 复随机过程的数字特征分别定义为 均值 iz(*)=mx(t)+jmy(t) 自相关函数 Rz(1yt2)=E〔Z(t1)Z°(t2)〕 3.协方差 covLZ(,), Z(2)]=E[Z(,)Z(3) 当t=t2=t时,有 covCZ(t),Z(t)]=vartz(t)) varX()+varY()〕 4。互相关函数 若有两个复随机过程 t)=X1()+jY:(t) Z2(t)=X2()+jY2(f 则互相关函数定义为 Rz1z2(,t2)=E〔z1(+)Z(2) (三)平稳随机过程 定义设{x(t,f∈T}为一随机过程,若对任一正整数n和 任意实数,t2,…,t,t∈T,i=1,2,…,n,以及实数为任 意值,有分布函数 F(z R& s3T2 F(ii, W2 xn3tt+τt2+t…;f+r) 或粥率密度函数 p(2i, 3z:;2 tR) ⑩n(x1;x2,…,x打+τ,红+τ,…,t+τ 则称这类过程为严格平稳随机过程。 平稳随机过程分为严格平稳随机过程和广义平稳随机过程 定义设{x(),∈T}是一平稳随机过程,E〔X2()]<∞, ELX()]=mx=常数 R(1,在2)=R(可) 则称{x(,∈T}为广义平稳随机过程。 广义平稳随机过程是一个二阶矩过程。二阶矩过程定义娟 定义设{x(t),∈T为一随机过程,若对一切t∈T,有 E{x2(#)}< 则称{X(,t∈T为二阶矩过程 1。平稳随机过程相关函数的性质 设随机过程X()、(t为单独及联合平稳,则 (1)Rx(v)=R(-) 如果随机过程为实过程,那么自相关函数是偶函数。亦即 Rx(τ)=Rx(-τ) (2)|Rx(r)l≤Rx(0)=y2 (3)Rx(∞)=1imRx()=m (4)∑Rx(t-t)(t)(4≥0 」 (5)Rxy(r)=Rx(-τ) (6)|Rx(x)|≤Rx(0)Ry(0)12 2。遍历性 样本函数(t)的时间平均定义为 2T x(扌)dt 若随机过程(X(t),t∈T是遍历的,则样本集的备种统计平均 以概率1等于相应的时间平均。 1)均值 mx =3(+)=lim 2少 a(t)dt (2)自相关函数 Rx(r)=x(t)x·(t-τ)=lim1∫r 2T_ r(te(t-t)dt 3)互相关函数 Rxr(t)=lim r27 x(ty°(t-τ)dt 3.平稳过程的功率谱密度 1)广义平稳随机过程功率谱密度定义为 Rx(T) 式中Rx(x)=r 2丌J-a Sxloejotde 上述公式称为维纳一辛钦定理 由于Rx(x)=Rx(-矿),故有 Sx(a)=2 Rx(τ) costaτ Rx(τ) Sx(o) costaτ (2)功率谱密度性质不论随机过程是实过程或复过程,均 有 SX(o)=Sx(o) 这表明功率谱密度必为实函数。 若x(t)是实函数,则有 这表明功率谱密度必为偶函数。 3)互谱密度若两个随机过程x()、Y()是联合广义平 稳的,则它们的互功率谱密度定义为 Sxy(oy Rxy(te-fowd 式中Rxy(r)= 2 xy(o)gorda 一般而言,有 S数y(ω)=Sx(o) 若x()、Y(t为实过程,则有 Srxo)=Sxr(-o) (四)矢量随机过程 设{X(t),t∈T}为m维矢量随机过程,定义为 X(t)=(X1(1),X2(t),…,Xm(址〕 1。统计描述 矢量随机过程X(+)在时刻t概率分布函数为 Fx(X,t)会P(X(t)≤x} 相应的概率密度函数为 Fx(X amFx(x, t) 卩x(X,扌) OX rx2…O 式中 T19汇29 矢量随机过程的联合概率分布函数为 X 3 x2。t X",土) △P{X(t1)≤x1,X(2)≤x2,…,X(tn)≤x 式中 X=〔X1,X X〕 X 1 t=1,2,……,n 相应的概率密度函数为 (x2,t1;x2,t2y X”,tn) △Fx1,…,x"(X1,t1;x2,t2;…;x",t) 2 ax dX X X",n) 0x1…ax…ax1…∂ 2.特征函数 矢量随机过程在时刻t;的特征函数为 小x(v,)全Eexp(XT(H)v 式中X(t)=〔X1(),x2(1),…,X()〕2 【实例截图】
【核心代码】