北航矩阵论学习笔记

【实例简介】
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北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 月录 §0补充公式 §1 Jordan(约当)标准形(简介) §2线性变换与矩阵. 24 §3欧式空间与QR分解. 48 §4常用矩阵分解 ●鲁D●●· ,,,,,74 §5范数与级数. 81 §6广义逆A ..97 §7直积拉直及应用 105 矩阵理论A笔记 北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 §0补充公式 令A=(a)mxn∈C",风x)=4o+a1x 0 定义f(4)=a0+a1A+…+amAm,其中I=l 若g(x)=bo+b1x+…+bkx,(x)g(x)=g(x)(x),则f(4)“g(A)=g(A)f(A) 分块公式 A10 令A ,A1,A2为方阵 0 0 A (2)f(A) ,fx)为多项式 令A= ,A1,4为方阵 A O (2)f(4) 相似关系:A∽B,(PAP=B) 则:(1)(P1AP)=P!AP,(k=0,1,2, (2)f(PAP)=PfA)P,f(x)为多项式 许尔公式( schur):每个复方阼,A-(a)nxm都相似丁上三角形。 共113页 矩阵理论A笔记 第1页 北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 即:P-1AP= 其中41,,的次序可以任意指定 Pf:用归纳法 n=1时成立 可以设为(n=1阶方阵成立 对于n阶方阵A=(an)2×n设特征值为A,…,n 取为对应的特征向量,记为a1≠0,A1=1ax1 把a1扩展为可逆方阵Q=(a1,02,xn) 22 e 又:g(a,a,…,.)=(Qa,Qba2,,Qan) 其中Q e1,a Q 0 Q4=QA(a1a2,…an) 2-I(Aa,,A A Q =(Qa,、+)…,(*) 其中A1为(n-1所阶 0人: 0 A 为 由假设,对于A1必有(n-1)阶P,可推出PAP Eg知n阶方阵A,适合A=0,则A+|=1 共113页 矩阵理论A笔记 第2页 北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 Pf:A=0→任意特征值A=0→>=0 即全体特征值为00,,0 0 由需要P1AP= →PAP+7=1 pAP+PP|=P(4+1)P=14+1→A+1=-1 注(1)若AB(相似),则AB有相同特征值A, 可引入记号:谱集(4)={2,2,…,λ}(全体特征值,含重复) A∽B→o()=o(B) (2)A∽B→1-A=1-B-(2-4元一2)…(-n),特征多项式 PAP=B=A-A=p(1-A)P=A-B 引理:若A 0A2 ,则M-A|-|M1-4|-1-A1|2-A2 →ar(4)=o(A)∪a(42 k+1,Ak-2,…n 1 f(x2) 设B ,f(x)为多项式,则f(B)= o f(,) 引理:若n阶方阵A的谱集(4)=1,42,…}, 则)的全体特社值为)2,…,),x)为多项式 Pf:由许尔定理,A∽B →f(4)∽f(B) f(x)的全体特征值为(A1)(42),,()},fx)为多项式 例如:4为A的特征值→x为4的特征值。(x)=x) 共113页 矩阵理论A笔记 第3页 北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 引理:令B ,f(x)=x-B|=(x-41)(x-12)….(x-n) 则fB)=(B-1D(B-21)…(B-A1D=0 Pf:当n=2时,B= 0x2 f(x)=(x-1)(x-2) 0 00 →f(B)-(B-41)(B-21) (2-元) 0(00 ∴得证 ★ Cayley公式:设n阶方阵A的特征多项式为f(x)=|x-A|=a+a1x+…,+x 则f4)=anl+a14+…,+4=0 Pf:由许尔PAP=B= →P(4)P=fp3P)=f(B)=0(引理) 定义若多项式x)使(4)=0,则称(x)为A的个零化式 结论方阵A的特征多项式)=1x1-4为A的一个零化式 g 特征多项式fx)=x2 可知:f(A)=A2+1= +I=0 0-1 Hx)=|xI-A|=(x-)(x+i,(i=√-1,t2=-1) f(A)=(A-i)(4+i1=0 也可取P= 则P PAP= ,对角形 共113页 矩阵理论A笔记 第4页 北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 g:知A 则A"=0 O nxn 由 Cayley特征多项式:f(x)=x"→f(4)=4"=0 Ex 1. A= 求P使得PP为对角阵,并验证 Cayley定理 2.A=cd/,求fx)=x1-4验证f4)-0 补充知识( schur公式、 Cayley公式)应用 由A"=-(a0I+a1 A +1 A·A anA+a142+…+a.,A 把①代入②→Am1=(-)+(+)4+…+(+)41 可知:任何和(m≥n)都可写成,4,,A的线性组合 任何多项式g(A),可写成lA,…,4的组合。 Fg:若A|≠0,fx)=xI-A|=a0+a1x+…+x",ao=|-A|≠ 则A可用A的多项式表示 ∵a1A+a242+…+an21A-+A"--a07 2 A(a1+a24+…+an-142+A) A a1+…+an1A"2+A -1 零化式定义:若g(x)=b+b1x+…+bnx,使得g(4)=bn+b14+…+bn4m=0,称 g(x)为方阵A的零化式 注:方阵A的零化式有无穷多个 ∴取特征多项式x)则4)=0 任取式M(x),f(A(4)=0→f(x)(x)也是零化式 极小式定义:在方阵A的零化式集合中,去次数最小的且首项系数为1的零化式m(x), 称它为A的极小式 共113页 矩阵理论A笔记 第5页 北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 注:极小式唯一 性质:①极小式m(x)必为特征多项式fx)=|xI-A的因式。 ②特征多项式fx)=|x1-A的每个单因子(x-4)也是极小式的因子 )f(x)=|x1-4=(x-x)(x-2) 则极小式m(x)=(x-x)(x-2)y…(x-,), 且1≤l1≤m1,1≤l2≤m2,…,1≤l≤n,41,A2…,n互不相同 210 EgA=020,B=020,求极小式mA(),m() 解:(1)|xI-A|=(x-2)(x-1) 极小式为:(x-2)(x-1)或(x-2)(x-1) 计算:(4-2/)4-1)=000010k≠0 00 000 ∴极小式为m4(x)=(x-2)2(x-1) (2)|-B|-=(x-2)2(x-1) 000 00 计算:(B-2)B-1)=000010=0 00-1八000 ∴极小式为m(x)=(x-2)(x-1) Eg求下列极小式m(x) 460 4-60 (1)A=-3-50,(2)B=2-30 3-6 100 210 (3)C ,(4)D= 00 0010 002 000 解:(1)特征多项式|x7-A|-(x-1)(x+2) 极小式为:(x-1)(x+2)或(x-1)(x+2) 共113页 矩阵理论A笔记 第6页 北京航空航天大学 张京蕊 工程系统工程系 验证:(4-D(A+2D=0 ∴极小式为m(x)-(x-1)(x+2) (3)解法如下 引理:A1,A2的极小式为m1(x),m2(x) A10 的极小式m(x)等丁m1(x),m2(x)的最小公倍式 0A2 (此引力可推广到A1,42,43) 0100 极小式为(x-1)2, 0010 极小式为(x-1) 0 取最小公倍式(x-1)2为C的极小式。 460 (5)F-/40 ,A1=020|,A 0 0 A 012 3-61 01 O 引理;设D= ,则D的极小式m(x) O 验证:先证D的性质(右推公式) 设A-(an)xn=(a1,2,…,n) 则有AD=(0,01,a2,,.m1) AD2=(0,0,∞1,,x12) AD=(0,….0.,a1,,axn) 单位向量技巧:∵AI=A(en,e2…,en)=(el,le Aen)=A=(a1, a2,. a,) ∴Ae1=01,Ae2=(2,.,A →AD=A(0,e1,e2,…,en-1)=(0,a1,a2…,an-) 同理AD2=(AD)D=(0,.01,.12) 可知:D-1-(D)Dy2-(0.,0,,e1)≠0 D"=(D)D1=0,而特征多项式(x)=|x1-D|=x,极小式为某个x 共113页 矩阵理论A笔记 第7页 【实例截图】
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