直线与圆弧插补计算

【实例简介】
直线与圆弧插补计算，介绍各种插补的计算方式和原理，设计多种插补原理
A(5,3) F<0 X 图3-2直线插补轨迹 例如图3-2待加工直线OA,我们运用下述法则,根据偏差判别式,求得图中近似直 线(由折线组成)。若刀具加工点的位置P(x1,y1)处在直线上方(包括在直线上),即满足 F;≥0时向κ轴方向发出一个正向运动的进给脉冲(+Δκ),使刀具沿x轴坐标动一步( 个脉沖当量δ),逼近直线;若刀具加工点的位置P(x1,y;)处在直线下方,即满足F,<0 时,向ν轴发出一个正向运动的进给脉冲(+Δy),使刀具沿y轴移动一步逼近直线。 但是按照上述法则进行运算判别,要求每次进行判别式F;运算—一乘法与减法运算 这在具体电路或程序中实现不是最方便的。一个简便的方法是:每走一步到新加工点,加 工偏差用前一点的加工偏差递推岀来,这种方法称“递推法”。 若F;≥0时,则向x轴发出一进给脉冲,刀具从这点向x方向迈进一步,新加工点 P(x1,y)的偏差值为 i+1,j (x1+1)y Vi - ye 即:F (3-1) 如果某一时刻加工点P(x,y)的F<O时,则向y轴发出一进给脉冲,刀具从这点向 方向迈进一步,新加工点P(x1,y-1)的偏差值为 ,=x2(y1+1)-xy xeyi-xiye txe 即:F F.,+x (3-2) 根据式(3-1)及式(3-2)可以看出,新加工点的偏差值完全可以用前一点的偏差递 推出来。 2.节拍控制和运算程序流程图 (1)直线插补的节拍控制综上所述,逐点比较法直线插补的全过程,每走一步要 进行以下四个拍节 第一节拍——偏差判别判别刀具当前位置相对于给定轮廓的偏离情况,以此决定刀 具移动方向; 第二节拍——进给根据偏差判别结果,控制刀具相对于工件轮廓进给一步,即向给 定的轮廓靠拢,减少偏差 第三节拍——偏差计算由于刀具进给已改变了位置,因此应计算出刀具当前位置的 新偏差,为下一次判别作准备; 第四节拍—一终点判别判别刀具是否已到达被加工轮廓线段的终点。若已到达终点, 则停止插补;若未到达终点,则继续插补。如此不断重复上述四个节拍就可以加工出所要 求的轮廓。 (2)直线插补的运算程序流程图逐点比较法第一象限直线插补软件流程图如图3-3 所 初始化xe、y n=/el+lyel F≥0? +x走一步 y走一步 F←F-ye F+F+X n= n- 出口 图3-3第一象限直线插补软件流程图 3.不同象限的直线插补 对第二象限,只要用x取代κ,就可以变换到第一象限,至于输出驱动,应使x轴 向步进电动机反向旋转,而y轴步进电动机仍为正向旋转。 同理,第三、四象限的直线也可以变换到第一象限。插补运算时,用|x|和y代替 y。输出驱动则是:在第三象限,点在直线上方,向-y方向进给,点在直线下方,向 x方向进给;在第四象限,点在直线上方,向-y方向进给,点在直线下方,向+x方向进 给。四个象限的进给方向如图3-4所示 F≥0 F<0 F<0 F<0 F≥0F≥0 图3-4四象限进给方向 现将直线4种情况偏差计算及进给方向列于表3-1中,其中用L表示直线,四个象限 分别用数字1、2、3、4标注 表3-1xy平面内直线插补的进给与偏差计算 线型 偏差 偏差计算 进给方向与坐标 L1,L4 F≥0 +△x F←F-y。 L2,L3 F≥0 -△x L1,L2 F<0 +△y L3,L4 F<0 △y 4.直线插补举例 例3-1设欲加工第一象限直线OE,终点坐标为x2=5,y。=3,试用逐点比较法插补 该直线 F A(5,3) F<0 X 解:总步数n=5+3=8 开始时刀具在直线起点,即在直线上,故F0=0,表3-2列出了直线插补运算过程,插 补轨迹见图3-2。 表3-2直线插补运算过程 序号 偏差判别 进给 偏差计算 终点判别 F=0 n=5+3=8 F=0 +△ F:=Fy=0-3=3 n=8-1=7 2 F1<0 △y F2=F1+X。=-3+5=2 7-1=6 F2>0 F3=F2y=2-3=-1 6-1=5 4 F2<0 △y F=F2+x=-1+5=4 n=5-1=4 F4>0 +△ F5=F4y=4-3=1 n=4-1=3 6 F。>0 F6=F5y=1-3=-2 3-1=2 F。<0 △y F, =F 6Xe 2+5=3 n=2-1 8 F>0 +△ F=Fy=3-3=0 n=1-1=0 、逐点比较法圆弧插礼 1.逐点比较法的圆弧插补原理 加工一个圆弧,很容易令人想到用加工点到圆心的距离与该圆弧的名义半径相比较来 反映加工偏差。设要加工图3-5第一象限逆时针走向的圆弧AB,半径为R,以原点为圆 心,起点坐标为A(x0,y0),在xy坐标平面第一象限中,点P(x,y1)的加工偏差有以下三 种情况 B(Xe, Ye) P(Xi, Y3) F>0 F<0 R A(X0,Y0) 图3-5逐点比较法圆弧插补 若点P(x,y,)正好落在圆弧上,则下式成立 yo=R 若加工点P(x,y)落在圆弧外侧,则Rp>R,即 若加工点P(x1,y1)落在圆弧内侧,则Rp<R,即: X, <x0 将上面各式分别改写为下列形式 (x2-x)+(y2-y)=0(在圆弧上) (x2-x2)+(yv2-y2)>0(在圆弧外侧) (x2-x0)+(y-y)<0(在圆弧内侧) 取加工偏差判别式 +(y 若点P(x,y)在圆弧外侧或圆弧上,即满足F≥0的条件时,向x轴发出一负向运 动的进给脉冲(-Ax);若点P(x,y)在圆弧内侧,即满足F2,<0的条件时,则向y轴 发出一正向运动的进给脉冲(+△y)。为了简化偏差判别式的运算,仍用递推法来推算下 步新的加工偏差 设加工点P(x,y)在圆弧外侧或在圆弧上,则加工偏差为 F;=(x12-x6)+(y2-y6)≥0 故x轴须向负向进给一步(-△x),移到新的加工点P(x+1,y1),其加工偏差为 +1 2-2x.+1+y F..-2x.+1 (3-3) 设加工点P(x,y)在圆弧的内侧,则F;<0。那么y轴须向正向进给一步(+△y), 移到新的加工点P(x,y),其加工偏差为 +2y,+1-y F,;+2y2+1 (3-4) 根据式(3-3)及式(3-4)可以看出,新加工点的偏差值可以用前一点的偏差值递 推岀来。递推法把圆弧偏差运算式由平方运算化为加法和乘2运算,而对二进制来说,乘 2运算是容易实现的 2.圆弧插补的运算过程 圆弧插补的运算过程与直线插补的过程基本一样,不同的是,圆弧插补时,动点坐标 的绝对值总是一个增大,另一个减小。如对于第一象限逆圆来说,动点坐标的增量公式为 x 圆弧插补运算每进给一步也需要进行偏差判别、进给、偏差计算、终点判断四个工作 节拍,其运算过程的流程图如图3-6所示。运算中F寄存偏差值F2,;x和y分别寄存x和 y动点的坐标值,开始分别存放x0和yo;n寄存终点判别值: n=xe -xol+lye-yo 初始化 X-Xo,y=yo, F+0 =xe-xo| + ye-yol +y方向走一步 x方向走一步 F←F+2y+1 F-F-2X+1 y←y+l l=0 出口 图3-6第一象限逆圆插补运算流程图 3.圆弧插补举例 例3-2设有第一象限逆圆弧AB,起点为A(5,0),终点为B(0,5),用逐点比 较法插补AB。 解:n=|5-0|+0-5|=10 开始加工时刀具在起点,即在圆弧上,F。=0。加工运算过程见表3-3,插补轨迹见图 表3-3圆弧插补运算过程 序号偏差判别 进给 偏差计算 终点判别 F。=0 X0=5,y=0 n=10 F=0 △x F1=F0-2X+1=0-2×5+1=-9x1=4,y1=0 n=10-1=9 F1<0 +△ F2=F1+2y+1=-9+2×0+1=-8X2=4,y2=1 <0 +△y F2=-8+2×1+1=-5 X3=4,y3=2 n=7 4 F3<0 △ F4=-5+2×2+1=0 X=4,y4=3 1=6 5 F,=0 △x F5=0-2×4+1=-7 X5=3,y5=3 n=5 6 F。<0 +△ y F6=-7+2×3+1=0 3,y6=4 n=4 F6=0 △x F,=0-2×3+1=-5 X=2,y2=4 n F2<0 +△ F=-5+2×4+1=4 X8=2,ys=5 n=2 9F8>0 △x F=42×2+1=1 X。=1,y=5 10F>0 △x F,=1-2×1+1=0 X10=0,V10=5 0 B(0,5) A(5,0 图3-7圆弧插补轨迹 4.圆弧插补的象限处理与坐标变换 (1)圆弧插补的象限处理上面仅讨论了第一象限的逆圆弧插补,实际上圆弧所在 的象限不同,顺逆不同,则插补公式和进给方向均不同。圆弧插补有8种情况,如图3-8 所示 F≥0 F≥0 F<0 F<0 F<0 F≥0 F<0￥F≥0 F≥0F<0 F<0rF≥0 F<0 F≥0 F≥0 图3-8圆弧四象限进给方向 根据图3-8可推导出用代数值进行插补计算的公式如下 沿+x方向走一步 x+1=x1+1 F+1=F2+2x+1 (3-5) 沿+y方向走一步 +1 F1+1=F2+2y2+1 (3-6) 沿-X方向走一步 x;=x2-1 1+1=F1-2x1+1 (3-7) 沿-y方向走一步 Vi+l=yi F.,=F i+1 y (3-8) 现将圆弧8种情况偏差计算及进给方向列于表3-4中,其中用R表示圆弧,S表示顺 时针,N表示逆时针,四个象限分别用数字1、2、3、4标注,例如SR1表示第一象限顺 圆,MR3表示第三象限逆圆。 表3-4y平面内圆弧插补的进给与偏差计算 线型 偏差 偏差计算 进给方向与坐标 sR2, NR3 F≥0 F←F+2x+1 X←x+1 +△X SRI, NR4 F<0 NrI, SR4 F≥0 F-2x+1 △x Nr2, SR3 F<0 Nr4, SR3 F≥0 F←F+2y+1 △ NrI, SR2 F<0 y←y SRI, NR2 F≥0 F←F-2y+1 nr3, SR4 F<0 y←y-1 (2)圆弧自动过象限所谓圆弧自动过象限,是指圆弧的起点和终点不在同一象限 内,如图3-9所示。为实现一个程序段的完整功能,需设置圆弧自动过象限功能。 图3-9圆弧过象限 要完成过象限功能,首先应判别何时过象限。过象限有一显著特点,就是过象限时刻 正好是圆弧与坐标轴相交的时刻,因此在两个坐标值中必有一个为零,判断是否过象限只 要检查是否有坐标值为零即可。 过象限后,圆弧线型也改变了,以图3-9为例,由SR2变为SR1。但过象限时象限 的转换是有一定规律的。当圆弧起点在第一象限时,逆时针圆弧过象限后转换顺序是NR1 →NR2→NR3→NR4→NR1,每过一次象限,象限顺序号加1,当从第四象限向第一象 限过象限时,象限顺序号从4变为1;顺时针圆弧过象限的转换顺序是SR1→SR4→SR3 亠SR2→SR1,即每过一次象限,象限顺序号减1,当从第一象限向第四象限过象限时, 象限顺序号从1变为4。 (3)坐标变换前面所述的逐点比较法插补是在x平面中讨论的。对于其他平面的 插补可采用坐标变换方法实现。用y代替x,z代替y,即可实现yz平面内的直线和圆弧 插补;用z代替y而x坐标不变,就可以实现xz平面内的直线与圆弧插补 第三节数字积分法插补 数字积分法的基本原理 数字积分法又称数字微分分析法( Digital Differential Analyzer)。这种插补 方法可以实现一次、二次、甚至高次曲线的插补,也可以实现多坐标联动控制。只要输入 不多的几个数据,就能加工出圆弧等形状较为复杂的轮廓曲线。作直线插补时,脉冲分配 也较均匀 从几何概念上来说,函数y=f(t)的积分运算就是求函数曲线所包围的面积S(图 3-10所示) Y=f(t) At titi+1 图3-10函数y=f()的积分 (3-9) 此面积可以看作是许多长方形小面积之和,长方形的宽为白变量△,高为纵坐标y2 则 y=>y△t (3-10) 这种近似积分法称为矩形积分法,该公式又称为矩形公式。数学运算时,如果取△t=1,即 个脉冲当量,可以简化为: ∑ (3-11) 由此,函数的积分运算变成了变量求和运算。如果所选取的脉冲当量足够小,则用求 和运算来代替积分运算所引起的误差一般不会超过容许的数值 、DDA直线插补 1.DDA直线插补原理 10 【实例截图】
【核心代码】