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Contents 1 INTRODUCTION ............................................. 1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 INTRODUCTORY BACKGROUND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Euler-Lagrange equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Definite integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Variable domain of integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Descent methods for unconstrained optimization . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Real functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Integral functionals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Level sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Optical flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.1 The gradient equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4.2 The Horn and Schunck formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.3 The Aubert, Kornprobst, and Deriche formulation . . . . . . . . . 28 2.4.4 Optical flow of rigid body motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 BASIC METHODS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 The Mumford and Shah model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.1 Bayesian interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.2 Graduated non convexity implementation . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 The minimum description length method of Leclerc . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.1 MDL and MAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 The piecewise constant image model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.3 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3 The region competition algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.1 Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 A level set formulation of the piecewise constant Mumford-Shah model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.4.1 Curve evolution minimization of the Chan-Vese functional . 46 VI Contents 3.4.2 Level set representation of curve evolution . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.4.3 Algorithm summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4.4 Numerical implementation details of the level set evolution equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.5 Edge-based approaches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.1 The Kass-Witkin-Terzopoulos Snakes model . . . . . . . . . . . . . 51 3.5.2 The Geodesic active contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.5.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4 MULTIREGION SEGMENTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2 Multiregion segmentation using a partition constraint functional term 61 4.3 Multiphase level set image segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.4 Level set multiregion competition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.1 Representation of a partition into a fixed but arbitrary number of regions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.2 Curve evolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.4.3 Level set implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.5 Multiregion level set segmentation as regularized clustering . . . . . . . 70 4.5.1 Curve evolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.5.2 Level set implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.6 Embedding a partition constraint directly in the minimization equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.6.1 Two-region segmentation: first order analysis . . . . . . . . . . . . . 74 4.6.2 Extension to multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 4.6.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5 IMAGE MODELS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.2 Segmentation by maximizing the image likelihood . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.2.1 The Gaussian model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2.2 The Gamma image model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.2.3 Generalization to distributions of the exponential family . . . 91 5.2.4 The Weibull image Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.2.5 The Complex Wishart Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2.6 MDL interpretation of the smoothness term coefficient . . . . . 98 5.2.7 Generalization to multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . 99 5.2.8 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.3 Maximization of the mutual information between the segmentation and the image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3.1 Curve evolution equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.3.2 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.3 Algorithm summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Contents VII 5.4 Segmentation by maximizing the discrepancy between the regions image distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.4.1 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.4.2 The kernel width . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.4.3 Algorithm summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.4.4 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.5 Image segmentation using a region reference distribution . . . . . . . . . 111 5.5.1 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.5.2 Summary of the algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.5.3 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6 Segmentation with an overlap prior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.6.1 Statistical interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.6.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6 REGION MERGING PRIORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2 Definition of a region merging prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.3 A minimum description length prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.4 An entropic region merging prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 6.4.1 Entropic interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.4.2 Segmentation functional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.4.3 Minimization equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.4.4 A region merging interpretation of the level set evolution equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.4.5 The weight of the entropic prior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.5 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.5.1 Segmentation with the entropic region merging prior . . . . . . 132 6.5.2 Segmentation with the MDL region merging prior . . . . . . . . . 133 6.5.3 Computation time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7 MOTION BASED IMAGE SEGMENTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 7.2 Piecewise constant MDL estimation and segmentation of optical flow141 7.2.1 Numerical implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 7.2.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.3 Joint segmentation and linear parametric estimation of optical flow . 145 7.3.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 7.3.2 Functional minimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 7.3.3 Level set implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.3.4 Multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.3.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 VIII Contents 8 IMAGE SEGMENTATION ACCORDING TO THE MOVEMENT OF REAL OBJECTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 8.2 The functionals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 8.3 Minimization of E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.3.1 Minimization with respect to the screws of motion . . . . . . . . 166 8.3.2 Minimization with respect to depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 8.3.3 Minimization with respect to the active curve . . . . . . . . . . . . . 167 8.3.4 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.3.5 Uncertainty of scale in 3D interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 8.3.6 Multiregion segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.3.7 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.4 Minimization of E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8.4.1 Minimization with respect to the essential parameter vectors 169 8.4.2 Minimization with respect to optical flow . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.4.3 Minimization with respect to γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.4.4 Recovery of regularized relative depth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 8.4.5 Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 8.4.6 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 8.5 Minimization of E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 9 APPENDIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 9.1 The Horn and Schunck optical flow estimation algorithm . . . . . . . . . 181 9.1.1 Iterative resolution by the Jacobi and Gauss-Seidel iterations 183 9.1.2 Evaluation of derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.2 The Aubert, Deriche, and Kornprobst algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.3 Construction of stereoscopic images of a computed 3D interpretation 186 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
标签： Image Variational
Variational and level set methods in image segmentation Mitiche.pdf
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