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Solving Mathematical Analysis with Matlab Mathcad Mathematica and Maple

一般编程问题

下载此实例
  • 开发语言:Others
  • 实例大小:19.31M
  • 下载次数:3
  • 浏览次数:33
  • 发布时间:2023-01-19
  • 实例类别:一般编程问题
  • 发 布 人:风雨无阻打地鼠
  • 文件格式:.pdf
  • 所需积分:2
 相关标签: Mathematica MATLAB MAPLE Mathcad

实例介绍

【实例简介】Solving Mathematical Analysis with Matlab Mathcad Mathematica and Maple

采用Matlab、Mathcad、Mathematica和Maple软件进行数学分析求解

【实例截图】

【核心代码】


Contents
1 Sequences and Series of Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Cauchy Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Fundamental Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1.1 Cauchy’s Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Divergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Operations on Convergent Series . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tests for Convergence of Alternating Series . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Tests of Convergence and Divergence of Positive Series . . . . 16
1.4.1 The Comparison Test I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2 The Root Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 The Ratio Test. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.4 The Raabe’s and Duhamel’s Test . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.5 The Comparison Test II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.6 The Comparison Test III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5 Absolutely Convergent and Semi-convergent Series. . . . . . . . 31
1.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Power Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1 Region of Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Taylor and Mac Laurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.1 Expanding a Function in a Power Series . . . . . . . . . . . 49
2.3 Sum of a Power Series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
XII Contents
3 Differentiation Theory of the Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 Partial Derivatives and Differentiable Functions
of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.1 Partial Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.2 The Total Differential of a Function . . . . . . . . . . . . . . 83
3.1.3 Applying the Total Differential of a Function
to Approximate Calculations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.4 The Functional Determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.5 Homogeneous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.2 Derivation and Differentiation of Composite Functions
of Several Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3 Change of Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4 Taylor’s Formula for Functions of Two Variables . . . . . . . . . 126
3.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4 Fundamentals of Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.1 Derivative in a Given Direction of a Function . . . . . . . . . . . . 157
4.2 Differential Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5 Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.1 Derivative of Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2 Differentiation of Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3 Systems of Implicit Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.4 Functional Dependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.5 Extreme Value of a Function of Several Variables
Conditional Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
5.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6 Terminology about Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1 Indefinite Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1.1 Integrals of Rational Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1.2 Reducible Integrals to Integrals of Rational
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.1.2.1 Integrating Trigonometric Functions. . . . . . . 251
6.1.2.2 Integrating Certain Irrational Functions . . . 252
6.2 Some Applications of the Definite Integrals in Geometry
and Physics. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2.1 The Area under a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2.2 The Area between by Two Curves . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.2.3 Arc Length of a Curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.2.4 Area of a Surface of Revolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.2.5 Volumes of Solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
6.2.6 Centre of Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Contents XIII
6.3 Improper Integrals.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.3.1 Integrals of Unbounded Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.3.2 Integrals with Infinite Limits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
6.3.3 The Comparison Criterion for the Integrals . . . . . . . . 293
6.4 Parameter Integrals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7 Equations and Systems of Linear Ordinary
Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.1 Successive Approximation Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.2 First Order Differential Equations Solvable
by Quadratures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.2.1 First Order Differential Equations with Separable
Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.2.2 First Order Homogeneous Differential Equations . . . 324
7.2.3 Equations with Reduce to Homogeneous
Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
7.2.4 First Order Linear Differential Equations . . . . . . . . . . 330
7.2.5 Exact Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.2.6 Bernoulli’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.2.7 Riccati’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.2.8 Lagrange’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
7.2.9 Clairaut’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
7.3 Higher Order Differential Equations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.3.1 Homogeneous Linear Differential Equations
with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.3.2 Non-homogeneous Linear Differential Equations
with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
7.3.2.1 The Method of Variation of Constants. . . . . 357
7.3.2.2 The Method of the Undetermined
Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.3.3 Euler’s Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
7.3.4 Homogeneous Systems of Differential Equations
with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7.3.5 Method of Characteristic Equation . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.3.6 Elimination Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.4 Non-homogeneous Systems of Differential Equations
with Constant Coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.5 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8 Line and Double Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
8.1 Line Integrals of the First Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
8.1.1 Applications of Line Integral of the First Type . . . . . 396
8.2 Line Integrals of the Second Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
8.3 Calculus Way of the Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
XIV Contents
8.4 Applications of the Double Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.4.1 Computing Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.4.2 Mass of a Plane Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
8.4.3 Coordinates the Centre of Gravity of a Plane
Plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8.4.4 Moments of Inertia of a Plane Plate . . . . . . . . . . . . . . 436
8.4.5 Computing Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
8.5 Change of Variables in Double Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
8.5.1 Change of Variables in Polar Coordinates. . . . . . . . . . 441
8.5.2 Change of Variables in Generalized Polar
Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
8.6 Riemann-Green Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
8.7 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
9 Triple and Surface Integral Calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
9.1 Calculus Way of the Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
9.2 Change of Variables in Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
9.2.1 Change of Variables in Spherical Coordinates . . . . . . 477
9.2.2 Change of Variables in Cylindrical Coordinates. . . . . 480
9.3 Applications of the Triple Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
9.3.1 Mass of a Solid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
9.3.2 Volume of a Solid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
9.3.3 Centre of Gravity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
9.3.4 Moments of Inertia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
9.4 Surface Integral of the First Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
9.5 Surface Integral of the Second Type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
9.5.1 Flux of a Vector Field. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
9.5.2 Gauss- Ostrogradski Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
9.5.3 Stokes Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
9.6 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
List of Symbols . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
1
Sequences and Series of N

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