计算机视觉中的数学方法

【实例简介】计算机视觉中的数学方法

本书由射影几何、矩阵与张量、模型估计三个部分组成，它们是三维计算机视觉所涉及到

【实例截图】

【核心代码】

目 录
第一篇 射影几何
第 1 1 章 平面射影几何
1.1 射影平面--------------------------------------------------- 3
1.1.1 射影平面----------------------------------------------- 3
1.1.2 两点、两线的叉积--------------------------------------- 5
1.1.3 共线点、共点线的交比----------------------------------- 5
1.2 二次曲线-------------------------------------------------- 8
1.2.1 矩阵表示--------------------------------------------- 9
1.2.2 切线------------------------------------------------- 9
1.2.3 配极对应--------------------------------------------- 10
1.2.4 对偶二次曲线----------------------------------------- 13
1.2.5 圆环点及其对偶--------------------------------------- 14
1.3 二维射影变换--------------------------------------------- 16
1.3.1 二维射影变换----------------------------------------- 16
1.3.2 直线与二次曲线的射影变换----------------------------- 20
1.4 变换群与不变量------------------------------------------- 21
1.4.1 等距变换群------------------------------------------- 21
1.4.2 相似变换群------------------------------------------- 23
1.4.3 仿射变换群------------------------------------------- 24
1.4.4 射影变换群------------------------------------------- 27
第 2 2 章 空间射影几何
2.1 射影空间------------------------------------------------- 31
2.1.1 空间点----------------------------------------------- 31
2.1.2 空间平面--------------------------------------------- 31
2.1.3 空间直线--------------------------------------------- 34
2.1.4 共线平面束的交比------------------------------------- 37
2.2 三维射影变换--------------------------------------------- 38
2.2.1 三维射影变换----------------------------------------- 38
2.2.2 平面与直线的变换规则--------------------------------- 39
2.3 二次曲面与变换规则--------------------------------------- 40
2.3.1 基本性质--------------------------------------------- 40
2.3.2 二次曲面的对偶--------------------------------------- 42
2.3.3 绝对二次曲线与绝对二次曲面--------------------------- 45
2.4 空间射影变换群的子群------------------------------------- 49
2.4.1 仿射变换群------------------------------------------- 49
www.plcworld.cn
 2
2.4.2 相似变换群------------------------------------------- 51
2.4.3 等距变换群------------------------------------------- 52
2.4.4 二次曲面分类----------------------------------------- 53
2.5 射影坐标系与射影坐标变换--------------------------------- 56
第 3 3 章 摄像机几何
3.1 摄像机模型----------------------------------------------- 59
3.1.1 摄像机模型------------------------------------------- 59
3.1.2 摄像机矩阵元素的几何意义----------------------------- 63
3.1.3 摄像机矩阵估计--------------------------------------- 66
3.1.4 欧氏空间与射影空间----------------------------------- 67
3.2 投影与反投影--------------------------------------------- 69
3.2.1 空间点----------------------------------------------- 69
3.2.2 空间直线--------------------------------------------- 70
3.2.3 空间平面--------------------------------------------- 72
3.2.4 二次曲线--------------------------------------------- 73
3.2.5 二次曲面--------------------------------------------- 74
3.3 恢复平面景物的几何结构----------------------------------- 77
3.3.1 仿射结构--------------------------------------------- 77
3.3.2 相似结构--------------------------------------------- 78
3.3.3 绝对欧氏结构----------------------------------------- 79
第 4 4 章 两视点几何
4.1 基本矩阵------------------------------------------------- 81
4.1.1 极几何----------------------------------------------- 81
4.1.2 基本矩阵---------------------------------------------
83
4.1.3 几何解释--------------------------------------------- 87
4.2 单应矩阵------------------------------------------------- 88
4.2.1 单应矩阵--------------------------------------------- 88
4.2.2 与基本矩阵的关系------------------------------------- 91
4.2.3 不动点与不动线--------------------------------------- 93
4.3 基本矩阵估计--------------------------------------------- 94
4.3.1 8－点算法-------------------------------------------- 94
4.3.2 最小点对应算法--------------------------------------- 96
4.4 恢复摄像机矩阵------------------------------------------- 97
4.4.1 射影相关--------------------------------------------- 97
4.4.1 摄像机矩阵的恢复------------------------------------- 100
第 5 5 章 自标定理论
5.1 正交性与摄像机内参数------------------------------------- 101
www.plcworld.cn
 3
5.1.1 影消点与影消线--------------------------------------- 101
5.1.2 摄像机内参数----------------------------------------- 102
5.2 圆环点与摄像机内参数------------------------------------- 105
5.2.1 内参数约束方程--------------------------------------- 105
5.2.2 确定圆环点的图像------------------------------------- 105
5.2.3 圆环点与正交方向------------------------------------- 107
5.3 平行性与摄像机内参数------------------------------------- 108
5.3.1 平行四边形的射影------------------------------------- 108
5.3.2 平行六面体的射影------------------------------------- 111
5.3.2 摄像机内参数----------------------------------------- 113
5.4 Kruppa 方程与摄像机内参数--------------------------------- 117
5.4.1 Kruppa 方程------------------------------------------- 117
5.4.2 由 Kruppa 方程求焦距---------------------------------- 119
5.5 绝对二次曲线与摄像机内参数------------------------------- 121
5.5.1 基本约束方程----------------------------------------- 121
5.5.2 变化内参数------------------------------------------- 121
5.5.3 恒定内参数------------------------------------------- 122
5.5.4 尺度因子计算公式------------------------------------- 123
5.6 绝对二次曲面与摄像机内参数------------------------------- 125
5.6.1 基本约束方程----------------------------------------- 125
5.6.1 约束的等价性----------------------------------------- 126
第 6 6 章 三维重构理论
6.1 三角原理------------------------------------------------- 130
6.2 基本矩阵与射影重构--------------------------------------- 132
6.3 无穷远平面与仿射重构------------------------------------- 133
6.4 绝对二次曲线与度量重构----------------------------------- 135
6.5 绝对二次曲面与度量重构----------------------------------- 138
6.6 实现分层重构的实例--------------------------------------- 140
6.6.1 仿射点对应------------------------------------------- 141
6.6.2 准仿射重构------------------------------------------- 142
6.6.3 仿射重构--------------------------------------------- 143
6.6.4 度量重构--------------------------------------------- 146
6.7 多摄像机系统标定----------------------------------------- 147
6.7.1 一维标定物------------------------------------------- 147
6.7.2 确定仿射摄像机矩阵----------------------------------- 148
6.7.3 确定欧氏摄像机矩阵----------------------------------- 149
www.plcworld.cn
 4
第二篇 矩阵与张量
第 7 7 章 正交对角化
7.1 内积空间与正交矩阵--------------------------------------- 154
7.1.1 内积空间--------------------------------------------- 154
7.1.2 正交矩阵--------------------------------------------- 155
7.2 酉空间与酉矩阵------------------------------------------- 158
7.2.1 酉空间----------------------------------------------- 158
7.2.1 酉矩阵----------------------------------------------- 159
7.3 正规矩阵------------------------------------------------- 162
7.3.1 Schur 引理-------------------------------------------- 162
7.3.2 正规矩阵--------------------------------------------- 163
7.3.3 正交谱分解------------------------------------------- 166
7.4 轭米特矩阵----------------------------------------------- 169
7.4.1 特征值的极性----------------------------------------- 169
7.4.2 半正定轭米特矩阵------------------------------------- 172
7.5 反对称矩阵----------------------------------------------- 176
第 8 8 章 矩阵分解
8.1 正交－三角分解------------------------------------------- 178
8.1.1 Givens 方法------------------------------------------- 179
8.1.2 Householder 方法-------------------------------------- 180
8.1.2 内参数与外参数的分解--------------------------------- 182
8.2 乔里斯基（Cholesky）分解--------------------------------- 183
8.3 奇异值分解----------------------------------------------- 184
8.3.1 正交对角分解----------------------------------------- 184
8.3.2 奇异值分解------------------------------------------- 185
8.3.3 奇异值的极性----------------------------------------- 187
8.3.4 极分解----------------------------------------------- 188
8.4 最小二乘问题--------------------------------------------- 189
8.4.1 满秩最小二乘问题------------------------------------- 191
8.4.2 亏秩最小二乘问题------------------------------------- 193
8.4.3 数值秩的定义和确定方法------------------------------- 193
8.4.4 齐次最小二乘问题------------------------------------- 194
8.4.5 约束齐次最小二乘问题--------------------------------- 196
第 9 9 章 矩阵分析
9.1 向量与矩阵范数------------------------------------------- 198
9.1.1 向量范数--------------------------------------------- 198
9.1.2 矩阵范数--------------------------------------------- 202
www.plcworld.cn
 5
9.1.3 矩阵条件数------------------------------------------- 207
9.2 矩阵级数与矩阵函数--------------------------------------- 210
9.2.1 矩阵序列--------------------------------------------- 210
9.2.2 矩阵级数--------------------------------------------- 212
9.2.3 矩阵函数--------------------------------------------- 213
9.3 矩阵导数------------------------------------------------- 217
9.3.1 函数矩阵的导数--------------------------------------- 217
9.3.2 向量值映射关于向量的导数----------------------------- 219
9.3.3 函数关于矩阵的导数----------------------------------- 221
9.3.4 函数矩阵关于矩阵的导数------------------------------- 224
9.4 矩阵直积------------------------------------------------- 228
9.4.1 概念与基本性质--------------------------------------- 228
9.4.2 特征值与特征向量------------------------------------- 233
第 10 章 张量代数
10.1 张量概述------------------------------------------------ 236
10.2 张量积-------------------------------------------------- 240
10.2.1 线性映射-------------------------------------------- 240
10.2.2 多重线性映射---------------------------------------- 243
10.3 张量---------------------------------------------------- 259
10.3.1 张量及其代数运算------------------------------------ 259
10.3.2 对称与反对称张量------------------------------------ 253
10.4 外代数（Grassmann 代数）--------------------------------- 255
10.4.1 外积运算-------------------------------------------- 256
10.4.2 外代数---------------------------------------------- 260
10.4.3 Plucker-Grassmann 坐标------------------------------- 264
第 11 章 运动与结构
11.1 欧氏运动与结构------------------------------------------ 267
11.1.1 本质矩阵-------------------------------------------- 267
11.1.2 欧氏运动-------------------------------------------- 269
11.1.3 欧氏结构-------------------------------------------- 271
11.2 仿射运动与结构------------------------------------------ 273
11.2.1 仿射摄像机------------------------------------------ 273
11.2.2 仿射运动与结构-------------------------------------- 275
11.3 射影运动与结构------------------------------------------ 277
11.3.1 基本原理-------------------------------------------- 278
11.3.2 选择射影深度---------------------------------------- 279
11.3.3 迭代分解算法---------------------------------------- 280
www.plcworld.cn
 6
第 12 章 多视点张量
12.1 双线性关系---------------------------------------------- 283
12.1.1 基本矩阵的张量形式---------------------------------- 283
12.1.2 极点的张量形式-------------------------------------- 285
12.2 三线性关系---------------------------------------------- 286
12.2.1 三点对应-------------------------------------------- 286
12.2.2 点、线对应------------------------------------------ 289
12.2.3 三线性约束的独立数---------------------------------- 291
12.2.4 恢复摄像机矩阵-------------------------------------- 293
12.3 四线性关系---------------------------------------------- 295
12.3.1 四线性关系------------------------------------------ 295
12.3.2 四线性约束的独立数---------------------------------- 298
第三篇 模型估计
第 13 章 迭代优化
13.1 最优性条件---------------------------------------------- 301
13.1.1 最优性条件------------------------------------------ 301
13.1.2 迭代格式-------------------------------------------- 305
13.2 一维搜索------------------------------------------------ 305
13.2.1 精确一维搜索---------------------------------------- 306
13.2.2 非精确一维搜索-------------------------------------- 308
13.3 无约束优化---------------------------------------------- 310
13.3.1 最速下降法------------------------------------------ 310
13.3.2 NEWTON 法-------------------------------------------- 310
13.3.3 变度量法-------------------------------------------- 311
13.3.4 共轭方向法------------------------------------------ 314
14.3.5 LM 法----------------------------------------------- 315
13.4 约束优化------------------------------------------------ 316
13.4.1 惩罚法---------------------------------------------- 316
13.4.2 乘子法---------------------------------------------- 319
第 14 章 参数估计
14.1 最大似然估计-------------------------------------------- 325
14.1.1 基本概念-------------------------------------------- 325
14.1.2 相合性与渐近正态性---------------------------------- 328
14.1.3 混合模型-------------------------------------------- 330
14.2 Bayes 估计----------------------------------------------- 332
www.plcworld.cn
 7
14.2.1 贝叶斯估计模型-------------------------------------- 332
14.2.2 无信息先验密度-------------------------------------- 334
14.2.3 共轭先验密度---------------------------------------- 337
14.2.4 贝叶斯估计------------------------------------------ 339
14.3 期望最大化（EM）算法------------------------------------ 343
14.3.1 EM 算法---------------------------------------------- 343
14.3.2 收敛性与估计精度------------------------------------ 346
14.3.3 EM 法推广-------------------------------------------- 349
14.4 混合模型的 EM 算法--------------------------------------- 351
14.4.1 一般混合模型---------------------------------------- 351
14.4.2 混合高斯模型---------------------------------------- 354
第 15 章 代数方法
15.1 模型估计概述-------------------------------------------- 356
15.1.1 模型------------------------------------------------ 356
15.1.2 模型参数化------------------------------------------ 358
15.2 直接线性算法-------------------------------------------- 361
15.2.1 线性计算框架---------------------------------------- 361
15.2.2 视觉估计问题---------------------------------------- 361
15.3 因子化线性算法------------------------------------------ 365
15.3.1 因子化计算框架-------------------------------------- 365
15.3.2 视觉估计问题---------------------------------------- 366
15.4 归一化线性算法------------------------------------------ 374
第 16 章 几何方法
16.1 几何方法------------------------------------------------ 376
16.1.1 直线与二次曲线-------------------------------------- 376
16.1.2 几何距离最小化-------------------------------------- 379
16.2 视觉估计问题-------------------------------------------- 382
16.2.1 单应矩阵-------------------------------------------- 382
16.2.2 基本矩阵-------------------------------------------- 384
16.2.3 三焦张量-------------------------------------------- 387
16.2.4 FOE------------------------------------------------- 388
16.3 最大似然方法-------------------------------------------- 392
16.3.1 高斯分布-------------------------------------------- 392
16.3.2 最大似然方法---------------------------------------- 393
16.3.3 残差与估计误差-------------------------------------- 395
16.3.4 参数的协方差---------------------------------------- 400
第 17 章 鲁棒方法
www.plcworld.cn
 8
17.1 RANSAC 方法---------------------------------------------- 408
17.1.1 直线估计-------------------------------------------- 408
17.1.2 RANSAC 方法------------------------------------------ 409
17.1.3 基本矩阵的RANSAC估计-------------------------------- 414
17.1.4 卡方分布-------------------------------------------- 415
17.2 M－估计方法-------------------------------------------- 416
17.3 最小中值方法-------------------------------------------- 419
17.4 鲁棒最大后验估计---------------------------------------- 420
17.4.1 鲁棒最大后验估计------------------------------------ 418
17.4.2 似然项与先验项的形式-------------------------------- 420
17.4.3 最大化边缘后验-------------------------------------- 423
17.4.3 MAPSAC 算法------------------------------------------ 426
第 18 章 模型选择
18.1 似然比检验---------------------------------------------- 429
18.1.1 基本运动模型---------------------------------------- 429
18.1.2 似然比检验------------------------------------------ 431
18.2 AIC 与模型选择------------------------------------------ 434
18.2.1 AIC 标准--------------------------------------------- 434
18.2.2 用AIC选择模型--------------------------------------- 436
18.3 BIC 与模型选择------------------------------------------ 440
18.3.1 Bayes 证据------------------------------------------ 440
18.3.1 BIC 标准--------------------------------------------- 414
18.3.2 用BIC选择模型--------------------------------------- 443
18.4 GRIC 与模型选择--------------------------------------------------------------- 444
18.4.1 GRIC 标准-------------------------------------------- 444
18.4.2 用GRIC选择模型-------------------------------------- 446
参考书目与文献-------------------------------------------------------------------------------------- 450
索引----------------------------------------------------------------------------------------------------- 453