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Contents Preface ix 1 Probability and Distributions 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Set Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 The Probability Set Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Conditional Probability and Independence . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.6 Discrete Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 1.6.1 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.7 Continuous Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.7.1 Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.8 Expectation of a Random Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1.9 Some Special Expectations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.10 Important Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2 Multivariate Distributions 73 2.1 Distributions of Two Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.1.1 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.2 Transformations: Bivariate Random Variables . . . . . . . . . . . . . 84 2.3 Conditional Distributions and Expectations . . . . . . . . . . . . . . 94 2.4 The Correlation Coefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.5 Independent Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 2.6 Extension to Several Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.6.1 ∗Multivariate Variance-Covariance Matrix . . . . . . . . . . . 123 2.7 Transformations for Several Random Variables . . . . . . . . . . . . 126 2.8 Linear Combinations of Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . 134 3 Some Special Distributions 139 3.1 The Binomial and Related Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 139 3.2 The Poisson Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3.3 The Γ, χ2, and β Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 3.4 The Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.4.1 Contaminated Normals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 v vi Contents 3.5 The Multivariate Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.5.1 ∗Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3.6 t- and F-Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.6.1 The t-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 3.6.2 The F-distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 3.6.3 Student’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.7 Mixture Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 4 Some Elementary Statistical Inferences 203 4.1 Sampling and Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.1.1 Histogram Estimates of pmfs and pdfs . . . . . . . . . . . . . 207 4.2 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4.2.1 Confidence Intervals for Difference in Means . . . . . . . . . . 217 4.2.2 Confidence Interval for Difference in Proportions . . . . . . . 219 4.3 Confidence Intervals for Parameters of Discrete Distributions . . . . 223 4.4 Order Statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4.4.1 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 4.4.2 Confidence Intervals for Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . 234 4.5 Introduction to Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 4.6 Additional Comments About Statistical Tests . . . . . . . . . . . . . 248 4.7 Chi-Square Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 4.8 The Method of Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 4.8.1 Accept–Reject Generation Algorithm . . . . . . . . . . . . . . 268 4.9 Bootstrap Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 4.9.1 Percentile Bootstrap Confidence Intervals . . . . . . . . . . . 273 4.9.2 Bootstrap Testing Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 4.10 ∗Tolerance Limits for Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 5 Consistency and Limiting Distributions 289 5.1 Convergence in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 5.2 Convergence in Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 5.2.1 Bounded in Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 5.2.2 Δ-Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 5.2.3 Moment Generating Function Technique . . . . . . . . . . . . 303 5.3 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 5.4 ∗Extensions to Multivariate Distributions . . . . . . . . . . . . . . . 314 6 Maximum Likelihood Methods 321 6.1 Maximum Likelihood Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 6.2 Rao–Cram´er Lower Bound and Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . 327 6.3 Maximum Likelihood Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 6.4 Multiparameter Case: Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 6.5 Multiparameter Case: Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 6.6 The EM Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Contents vii 7 Sufficiency 375 7.1 Measures of Quality of Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 7.2 A Sufficient Statistic for a Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 7.3 Properties of a Sufficient Statistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 7.4 Completeness and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 7.5 The Exponential Class of Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 7.6 Functions of a Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 7.7 The Case of Several Parameters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 7.8 Minimal Sufficiency and Ancillary Statistics . . . . . . . . . . . . . . 415 7.9 Sufficiency, Completeness, and Independence . . . . . . . . . . . . . 421 8 Optimal Tests of Hypotheses 429 8.1 Most Powerful Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 8.2 Uniformly Most Powerful Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 8.3 Likelihood Ratio Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 8.4 The Sequential Probability Ratio Test . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 8.5 Minimax and Classification Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.5.1 Minimax Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 8.5.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 9 Inferences About Normal Models 473 9.1 Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 9.2 One-Way ANOVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 9.3 Noncentral χ2 and F-Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 9.4 Multiple Comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 9.5 The Analysis of Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 9.6 A Regression Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497 9.7 A Test of Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 9.8 The Distributions of Certain Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . 509 9.9 The Independence of Certain Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . 516 10 Nonparametric and Robust Statistics 525 10.1 Location Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525 10.2 Sample Median and the Sign Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 10.2.1 Asymptotic Relative Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 10.2.2 Estimating Equations Based on the Sign Test . . . . . . . . . 538 10.2.3 Confidence Interval for the Median . . . . . . . . . . . . . . . 539 10.3 Signed-Rank Wilcoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 10.3.1 Asymptotic Relative Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 10.3.2 Estimating Equations Based on Signed-Rank Wilcoxon . . . 549 10.3.3 Confidence Interval for the Median . . . . . . . . . . . . . . . 549 10.4 Mann–Whitney–Wilcoxon Procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 10.4.1 Asymptotic Relative Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . 555 10.4.2 Estimating Equations Based on the Mann–Whitney–Wilcoxon 556 10.4.3 Confidence Interval for the Shift Parameter Δ . . . . . . . . . 557 10.5 General Rank Scores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 viii Contents 10.5.1 Efficacy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562 10.5.2 Estimating Equations Based on General Scores . . . . . . . . 563 10.5.3 Optimization: Best Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 10.6 Adaptive Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 10.7 Simple Linear Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576 10.8 Measures of Association . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 10.8.1 Kendall’s τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 10.8.2 Spearman’s Rho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 10.9 Robust Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 10.9.1 Location Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 10.9.2 Linear Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 11 Bayesian Statistics 605 11.1 Subjective Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 11.2 Bayesian Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 11.2.1 Prior and Posterior Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . 609 11.2.2 Bayesian Point Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 11.2.3 Bayesian Interval Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 11.2.4 Bayesian Testing Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 11.2.5 Bayesian Sequential Procedures . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 11.3 More Bayesian Terminology and Ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 11.4 Gibbs Sampler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626 11.5 Modern Bayesian Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 11.5.1 Empirical Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636 A Mathematical Comments 641 A.1 Regularity Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641 A.2 Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642 B R Functions 645 C Tables of Distributions 655 D Lists of Common Distributions 665 E References 669 F Answers to Selected Exercises 673 Index 683
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