泛函分析及其在自动控制中的应用

【实例简介】
泛函分析及其在自动控制中的应用，韩崇昭，1991
控制理论所硏究的闩越,可以概括为系统分析、系统踪合建模和优化。系统分包括系 统的稳定性分析能控能观性分析、鲁棒性分析等,主要是分用以描述系统行为的算子的特 生。传统的分析方法是实用的但只限于某些特定的系纯类型.例如传统的枫域分忻法只阳于 讨论单输入单输出约线性定常橤统,而泛函分析所提供的分析方法,有可能村包括多输入多输 出线性时变系统、分和参觐线性系统,以及某忠类型的柞线性系统进行统…的处理,从而获 得更加一般的论。系统的综合包插挖湖器和补偿器的设计等,使系流得以镇定或获得某种 性能,这是分析的逆河题。传统的综合屴沄礻仪费时费事丶而且解决问题的范園比较狭窄:现 代的综合方法倾向干构造能用计算机灾现的某些算法迭代算法或递推算法的收敏性分析,以 及闭环控制的稳定性分衔等,只有借助泛图分析所提供的工其,才有可能使问题得以解决 系统建撓和系统的最优控制,一般是在某些约束条件下,对某个泛函拈标进行优化的问题,这 更是泛函分析研究惹围闪的问题 绕上所泛函分析已渗逶到控制理论和系统科学的各个分支。“饿夯千里日,更上一层 楼”,控制斑论研究者只冇掌握泛函分析这…工具,才有可能…览当令研究潮流中“群峰竞秀, 万水争流"“的局面 第二章代数基础 鉴于工科人学亩动控制类专业研究生#不具备系统的拙象代数的知识,而泛函分析这门 课程又经带涉及抽象代数的某些基本慨念,所以首先在本章对必要的代数基础知识进行简要 介绍,作为学习泛函分枥的预备知识。 §2.]集合与映射 2.1.1集合 集合是数学上最基本門概念,难以绐出确切的定义:一般说:所谓集合就是指具有其种属 性的事物全体。构成集合的每个事物称为该集合的元蓊。果合也简称集,其元素也简称元 集合可用列其历有元素或江明其暑性来表示如 A=i1,nz,…,n},A={a:a具有属性P} 如果个集合由有限多个元构成,称之为有限集;如果由无限多个元构成,称之为元限集 不含汪何元素的集合称为空集记为这,只含一个元的集合称为单点集。 用r∈A表示“?是4中的元”或a属于A”;用a表示a不是A中的元"哎“a不属于 有两个集合A和B:若A中的所有元到为B中的元,则称为A是B的子集或A蕴含于B 哎包含A,记为A≌或BA 任集A必是共自身的了集,而空集又是仕意集A的子集 若集A是集R的子集:而B中至少有一个元不屑于4,则称A是程的真子集,或B真包含 A,记为心二BBA。 若集A是集B的了集,且B也是A的子策,闻称集A与集B相等,记为A=B2 这个定义也经出用作集合相等的证明方法即任取∈A,得x∈B则推知4≌B;其次任 取xB证得∈小则描知B≌A;从而证明A=B。在以后的证明中,我打经常采用某些撰用符 号:“"表示“所有的",“彐"表示“存在”,“→“表示“由左面的结论推出岩面的结论”“台”表示 左右两面相互推出” 以柴合为元素的集合秋为集类。如字={A,B,C}其中的元A,B,C均是集合,是集类。 A、B两个集合的所有元素共同构成的集合称为A和B的并集,记为 AUB={2:x∈A或x∈开 2。1,2 桌合A1,A:;…,A的并業定义为 U4=A∪AU…∪4一{x:xEA,或x∈A,“x∈A}(2.1.3) A、B两个集合的公共元素构成的集合称为A和B的交集,记为 A∩B={x:x∈A且芏.B 〔2.I.4 集合A1,A2,A的交集定义为 门A=A∩A∩“∩A={x:x∈A且x∈12“且xEA}(2.!5 如果集合A与集合升没有公共元家,即A∩B=C,则称A与R不相交。 属于集A而不属于集B的所有元构成的集合称为A与B的差集记为 AB={xgxA旦x 2.⊥,5 巢合A和F的对称差记为 A△B-(APU(4) 2.7 设U是一↑特定的集合,AS;称EA为A关于U的补集.记为A此时有 AUA=UA∩A= 2.1蘸 2..9 对于集类也可以定义并、交运算。设是一个集类其元的并和交分别为 U{BB∈}={z:B∈郾,使z∈B 2.1.10 ∩{B:B∈}{x;B∈密,使r∈乃 2.1.11) 例211设R表示实数集,R=RXR表示实数序对(x,y)的集合,集合A={(x,g) mx;∈R固定}表示欧氏平面R2上y=m直线上的总集;所有这些集合(直线〕构成一个集类 x={A:mER在此情况下,集类m的交集为∩ FRA={(0,0)},即R的坐标原点;其并集 为∪v∈RA=R2\{0,y):|l|>0}即除去坐标纵轴但保留坐标原点整个R2平面。 前面绐出的集合运算具有如下性质 〔1)幂等律:AA=A,A∩A=4; 〔)交换律:AB=BJA,A∩B-B∩A; I)结合律:A∪(BU)=(4∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C; Ⅳ)分配律:4U(B∩C)=(AUB∩(AUc), A(BUC)-(Anu(A门 〔V)恒等律:A∪C=A,A∩U=手 AUC=[, A= 另外还有一些恒等关系式 Ⅵ) de morgan律:A(B)-(AB)∩AC), A\(BNC)=(AB)U:A\ 〔〕对偶律:(UA A,(∩A=U Ⅷ)互补律:AAU,A∩A=8 下面只证明(W)和(W)其余留给读者验证 W)的证明:∈A(B)∈A,(BC)∈AB且x∈C∈AB且tA r∈AB)n(4C)同理可证第二式。 ()的证明;*∈(∪A)=∈U,艺点UA+2A且2年A1“且卖Az∈出且x∈A 」 且x∈术台∈∩4:同理可证第二式 渠合A和B的笛卡尔积就是由序对构成的集 ∈Ab∈ 2.1,12 儿素n和b称为序对(a,b)的分量。 如果两个厅对的对应分垤相等则称其相等例如,(x,y)z(n-a,且y一b 般情况下,集合的笛卡尔积不叫交换次序,即AX≠xA 更一般地,A1A2…**A是一组集合其笛卡尔积定义为 A,=1×Azx {「 rTI:AE 1,2 }〔2.I.13 2.1.2关系 由集合A到集合B的一个关系配,就匙的卡尔积A×H的一个集若R=AXB.序对(a )∈R则称n与!有关系P,记为ee,关系RAX称为二元关系,周为此时其中的元由序 对钩成 更灬般地,若K∈]1,则称其为多元关英。 例2.1.2设A一{a,b,c}B={u,b,,d,吧其笛卡尔积为 AB=(,,(,b),().(,t).(bq),bb),,(冫(,),出,(qb)(qc),(,d)} 如果R表示“相等关系”,则 R=Y b),(c,E)}二A×F 关系R4XB的定义城是A的子集,即 1oia∈A:b∈,使得 2..11〕 其值址是郾的子集,即 ange=,∈B:n∈A使得ah 15 倒21.3设R={(x,y):,∈R,g-2}表示一个关系,显然它是RXR的一个子粜,即 面R上一条抛物线的点集。其定义域domR=R,其值域 rangeR=1={y:y:0),即l半实轴 设A是灬个集台,三A×A4是某种关系下给出几种特殊二元关系的定义 I)自返关系:若aA→(a,a∈R; (I)对称关系:若(,b)∈B→(b,a)EB; Ⅲ)传递关系:a,b),b)∈R=n,)∈R; Ⅳ)反对称关系:若(,b),h2n)∈→m=b; 甚于以上基本的二元关系还可以定义 〔V)偏序关系;若是返、传递和反对称的关系:此时称A为出R规定的编序集合; 〔)全序关系:若是偏关系,H任意a,b∈A,要么(+b)∈B,要么(b,a); W)等价关系:若F是肖返、传递和对称的关系。 例2.1.4设R-(,9):x,∈R,≤匚R表示平面R上包括x-9直线在内的左上半平 面,它是一个二元关系:国对()!x∈R,(x,x)∈,所以R是自返的;(2)任意(,y),(,=)∈R 即有“到队而有x,即:x,∈R,所以是传的(3){意(x,y),(y,)∈R,具有 y,≤x,从而z=y,新以R是反称的;综合起来即证刚R是个懶序关系(即关系“≤’,或者 总按偏序关系“≤”規定的R是一个偏序集合。 其实,R还是一个全序关系,因为除!R编序关系外,对仁意r∈R.要么x≤,费么y sx即要么(x,y)∈界,要么(y,x)∈P 例2.15设A={a,b;,d,g,R={(),(b,)仂,b),(c,q),(+b),e,c)(c,),(d,n),, n),(,4},(,b),(e,e)}4A,它是A上的一个二元关系。因为(1)!x∈A(r,x)∈R,即E是 白讴的;(2)意(x,y)(y,z)∈萨即有(x,∈F即R是传递的;〔3若(x,y)(g,x)∈R,即有x y,即是反对称的;所以k是一个偏序关系。 但是,为e,∈A,(e)R且(e,c)B,所以不是灬个全序关系 若R实A×A是A上的一个偏序关系,则 I)A的任一子集B按关系R仍是一个偏详集合,即B(BXB》∩是B上的偏序关系 若B按关系R还是一个全序集合,则称其为A的个全序子集。 [)设b∈4,若对x∈A均有r助,称b为A的末位元系 ()设a∈A若对x∈A均有Rx,称a为A的初位元 Ⅳ)若b∈A对任意t∈A且l 则称b为A的一个最大元素。 若m∈A对任意x∈A且→=a则称a为A的一个最小元亲 例2.L.6设A={7,4,23,2,5)为一有限整数粜,定义A上的一个二元关系 R_{ ∈A,x≤y 2),(4,4),(415),〔47),(4,12),(2,12)(3,3),(3,4),(35),(3;7 3,12),(2,2),(2,3)、(2,2(2,5),(2,7,(2,12),(5,5),(5,7〕,(苏,2)} 显然,孩关系R(即“≤”),A是…个全序集合同时是A的韧位元,也是最小元:12是A的末位 兀,也是最大元 例2.L.725的关系星可以用图2.1.表示,共中a,即存在有向连线由x到yA的 仟一子集加D一{e1b,a}按关系B仍是个偏序集合,而且 此时B还是A的一个全序子集在A中按关系R,是末 位元也是量大元和c均为A献最小元但A无初位元, 月为e和c不存在关系R 讲而,假定R是集合A上时一个编序关系,对于B 4,则有 M)r∈A称为由规定的B的一个上界,当且仅当 图2.1.1关系R 对∈B有xR。如果a是由R规定的P的一个上界,而对于由R规定的B的任意其它上界p 均有aR,则称a为B的最小上界,或上确界.记为m=Lp3 ()a∈A称为由R规定的的一个下界,当且仅当对yr∈B有aR。如果a是由R规定的 B的一个下界,而对于由R规定的B的任意其它下界A,均有山B则称t为B的最大下界或 下确界,记为=infB。 例2.1.8设A={z∈R:01二R为一闭区何,而B一{x∈R:.2<x≤20,4二为 半开半闭区间;显然B二A按照偏序关系“≤”,0.4和0.5都是B的⊥界,但SupB=0.10.1和0 2都是的下界,但in月=(。注意B不是B中的元 需要指出的是,个偏序集仑的子集未必有上确界或下确界例如在例21.5中,设 e,b,c},它是4的子集。显然,和b均为B的上界,而a,所以supB=b世是.因为g相c之间 不存在关系R,所以B没有下界,从而也没有下确界。 若BCA有上确界和下确界,它们必是A中的元,却末必是B中的元集合B上的上斓 界(哎下确界)存在时必唯一,这是因为,若B有两个上确界〔或下确界〕,Rn=加1pB,=5up乃 驶n=infB,b=inB):由于R是偏厅义系,由上确界(或下确界)定义劁,则有P且b所 关于集合A按偏序关系P最大元的概念,可以导出在泛函分析和其它数学分支中都很重 要的·条著名公理,称为Zmn引理。 Zon引理设A是一个非空偏集合,如果A的每个全序子集都有上界,则A至少含有 个最人元 类似的也有关于A的最小元的结论,只须夺引理中的“上界”换为“下界"最大元”换为 最小元”这里飘述的是数学上的一条公理,不必也不能加以证明,下面结出筒要说明 设∈A,若其为A的最大元结论已城立;若其不是A的最大元,因A为非室偏序集,必存 在nA且吗≠1使得a1阳2若a2是A的最大元结论巳成立:若a2不是A的最大元,必存在a2 A程≠m2使得mg&n3……这样继续下去,必得A的一个全序子集M={m;y2,…}根据假 设,M有一个上界an若m是A的一个极大元结论已成立;若an不是A的最大元,列必有 ∈Aan-≠an,使得an‰灬+1……*2这样继续下太,又有…个全序亍集N=M∪{an,n+1、…}; 根据假设N有一个上界a…,依此下去,到最大元出现。 对于上述说明过程稍加分析,就会发现Zcn引理实际上与下述 Ermelo选择公坪等价 ermt选择公理色设.-{A:∈!}是互不相交集合构成的集类,则仔在一个集合A 满足 ACIA; (I)对任意,4C4严格有一个元素。 下面讨论等价关系A了月设q∈A,的一个等价类定义为 x∈A:xB} (2..l6 个集合A的怍空了集所形成的兔类的一A;∈I,其中AA,是指标集;称其为A的 个划分,如果 (IJUA=A: 【)对任意i2;,A门A3=(a 利用集仝划分的概念,可以把一个集合搜等价关系划分为不同等价类所形成的集类。 网2.』.9设z+表示非负整数集,任取b∈Z+,序对()∈B,即表示a-b熊被3整除 显然,R是Z+上的一个等价关系因为(1ye∈z*,则冒a-m0能被3整除,所以(n)∈P, F是返的;(2)若a,b,c∈2+,ab和bc均能被3整除,则4-c=(-b)+(h-c)也能被3整 除,即(c)∈RR是传评的;(3)若省,bza-能被3整除,-也一定能被3整除印R是对 称的;所以凡是等价关系, 于是,可以得到二个不同的等价类 R(1)={:,4,7,10,…},B2)m!2,5,8,i1,…} E(3)={0,3,6,9,… ①此处怀一条公理为引璞是沿习惯啡法其实它与下颧的zrme选掉公理是完全箐价的,其一作为公理,其二则 可作为引理 ②见乙h引理汪 而Z={(1),E(2,R(3)是一个划分。 引理1设B姑定义在集合A上的一个等价关系,a∈AB()<A是a的等价类r若F },则必有Rb=P(q}。 证明由定义知,R(n)={x∈A:R},若b∈aa)→Ba;V∈R(b)→形;囚等价关系是传 递的,则x,所以R(b)≤=R(a)又因等价关系是对称的→ab;所以￥r∈Rn)→阻→勵 从而R(a)CH(b);综合越来即得R(a)=R(b 引理2设B是定义在集合A上的一个等价关系,,5∈A,若等价类R()∩R()≠,刈必 有R(a)=R(b)。 证明设c∈(Ra)门1R(b)),由引理1知Ra)=R(c)=R(b) 引|理3设F是定义在集合A上的个等价关系a∈A,R(aCA是a的等价类,则 2.1,E7) 证明设 YC UzEAR(x),则玍意y∈Y,彐r∈A使得y∈R(x),从而知yA;由F的任意性 知,Uc∈AR(x)cA 反之任取a,因zR,则放2;Rz),R),所以∈UB(x):由:的任意性 知,A≤U.EAR(x)。 综合起得式(2.l.:7 定理21.定义在集合A上的仟一等价关系B确定了A对等价类的一划分;反之,A 的任一划分也定义了A上的一个等价关系。 证明设R是定义在A上的一个等价关系,则必有a∈A,i∈!由关系R给出相应的等价 类R(n,,i∈由引理3知,∪eR(a1}=A又假定I屮任取且R〔)与B(a:不同,古则进行 合并即可由小理已知,{R(a)},!中仟意两个不同的等价类互不相交所以{R(m):∈I是 的一个划分 反之,设{:i∈l是4的-个划分定义关系R如下:B42∈{A1E1},且a,∈A因 为(1)(意a∈A,存在A∈{4:∈使得∈A,即aBa,所以是自返的;(2)若aRh,即A1∈ (4:;∈l,a,b∈A,或b,n∈4,即b,所以界是对称的;(3)若aB,b,即A1,A∈{A:∈I} 且a,b∈4;b,∈4;假定k,即意味着A∩A≠好,这与{4∈l}是A的一个划分相矛盾,所 以A-A,从而k,万是传递的综合起来耳知是A上的一个等价关系。 集合4按等价关系形成的等价类所构威的集类称为A关于R的商集,记为AR 根椐定理21.1,商集AR实际上是A按R的划分 例21.10设L(={x∈R2:∈R2,且x-x∈X.}其中X={(x1,0}:z∈R}是R2中的横 轴;显然L(x是过且与横轴平行的R中的一条直线,容易睑证,定义了R上的一个等价关 系1ry-∈x:;而L(2)是一个等价类这梓,集类E={Lx)1x=(U,x2)∈R2,2∈R}即表 示R2内所有与横轴平行的直线集合,显然对于任意r≠y:L((,x2》)∩1((0,21)=r且 ∈RD((,2)-K2/表示商集,它等价于划分其元素是竽价类L(x)。 21.3映射 由集合A到集合H的映射(或称函数变换算子等),①就是个三元组(,AB),满足 通常,老E是域则称之为西数岩A和B尾有限维空间称为交换若A和B均为无限空间或其子巢,耐为算子 (1)AxB是由A到B的一个关系 (I)任意c∈ domf d y∈B使得(z,列)臼f 〔盾)任意x∈A,如果有1s2B使得(其,)∈f,(x2)∈f则必有-y 出A到B的映射f可以记为f:A→Br而(z∈f,可记为=f(x) 由定义知映射是一类持殊的关系,其定义域中的壬一元x,多对应值城中的一个元y 所以映射可以解释为“单值关系…即dm中的元只在j中出现一次:同时dmf≠。今后对 于∫;A→B,其定义域记为(),值域记为(对于任意x∈(,=f(z)∈(也称为 ∫在x的值或x关于f的象;从而也称值城(为∫的象集。 设f2A→是一个映射,对于枉意集合C三(BC关于∫的逆氯定义为 f1(以)△{z∈():=f(x)∈C} (2.1.18 f的图象定义为 Graph△{(x,f(x):x∈〔f)} (2.l.19 它是序对(x,y)∈≌(f),=f(x)构成的集合即∫本身:与f的象集是完全不同的概念 例2.1.11考虑RXR的子集 f二{(xF):s∈武,=8inx g={(r,2)x,”∈z2+Ay2=1 显然,f:R→R是映射,≌(∫=R,究(=[-1,1R,因为对任意x∈R,至多有↑y∈ 丑,使得y-∫(x);但g不是一个映射,dmg=[-1,1]R, rangey=[-2,2」cR,因为对r∈ dg,可能在到∈R使得y÷,且有(x,),(9)∈ 映射f:AB称为藏的,如果对任意y∈,x∈②(,使得f(x)y;称为一对一的〔记为 L的),如果对拦意和,x∈A,且x1≠x2,均有f()≠fn)称为一一对应的、细是它是一对 一满的即对任意y∈B唯一存在r∈A使得∫(x}=y 例21.12设y=f()=x2I)若A=B=,:A+B即非满的,也非一对一的;(』)若A R,B=R+〔非负实数渠),f:A→B是满的,但非一对一的;(Ⅲ)若A=R+,B=R,则:A→B是 一对一的,织非满的(Ⅳ)若A=B=R+f:A→B则是一一对应的 映射∫:A→B有如下重要类型 I)常值映射:b∈B,使得x∈A,均有f()=b; 〔I)恒等映射:对￥rEA,均有f(x)=此时A=B,且记为ik:A→ (画)f在子集xCA上的限制;称f|k→B是f在子集XCA上的很制,若任意,均 有∫x(x)-∫() Ⅳ)∫在集合A→A工的延拓:若存在g:X→B是一个映射,满足引A=∫,即y在A上的限 芾」为∫; )投影映射:设A一AX4×…ABA,i∈(1,2,…,},府于仨意(xx;,x)∈A 均有∫(x,,…x=馬,称f为对第i个分量的投影映 设f:X·-:F→均为映射复合映射定义为gf;X→Z,且 (2.1.20) 关于映射∫A*B还存如下几种类型 (Ⅵ)左可逆映射若存在映射g:B→A帧得g·f=,其屮a是A上的恒等映射:此时称g 10 【实例截图】
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