数学建模 葡萄酒评价论文

【实例简介】
2012年高建杯数学建模原题葡萄酒评价论文。
本题婓求根据葡萄的理化指标和葡萄酒旳质量对葡萄进行分级。根椐酿酒葡 萄指标的相似度,建立了基于距离的层次聚类模型,可将葡萄样品分类。然后采 用单因素方差分析的方法检验将葡萄样品分为五类或者六类的合理性,从而铕定 分类情况。最后通过对应不同类别葡萄所产出的葡萄酒质量,将不同类的葡萄分 为不同的优劣等级 4.3问题三的分析 本题要求分析葡萄理化指标与葡萄酒理化指标之间的联系。首先将酿酒葡萄 理化指标作为输入层,葡萄酒理化指标作为输岀层建立神经网络。然后利用BP 学习算法对此神经网络进行训练,得到输入层、中间层与输岀层之间的权值、阈 值,进而推出输入层与输岀层之间的关系。最后依据神经网络中各层之间的函数 关系推测出酿酒葡萄与葡萄酒埋化指标之间的联系。 4.4问题四的分析 本题要求分析酿酒葡萄和葡萄洒的理化指标对葡萄酒质量的影响。首先,可 以利用主成分分析法分别对酿酒葡萄理化指标与葡萄酒理化指标作主成分分析, 找出其主成分,并剔除理化指标中不重要成分。然后依据找出的主成分中的各项 理化指标,结合第二组评酒员评分,作回归分析,进而根据回归分析中系数的显 著性检验进一步剔除不重要成分。如果最后还有成分剩余,则表示酿酒葡萄和葡 萄酒的这些理化指标对葡萄酒质量影响匕较显著。最后根据第二组评酒员评分与 酿酒葡和葡菊酒的理化指标剩余重婁部分冋归系数,建立用葡萄和葡菊酒的理化 指标来评价葡萄酒的质量的模型 五、模型的建立与求解 5.1问题一模型的建立与求解 首先,需要判断两组评酒员的评价结果是否存在显著性差异,针对此问题 本文使用独立样本t检验法进行检验;其次,需要判断哪一组的结果更加可靠, 对此,本文通过隶属度函数分析计算,并比较两者的隶属函数值来进行判断 5.1.显著性差异模型的建立与求解 双总休t检验是检验两个样木平均薮与其各自所代表的总休的差异是否显 著。双总体t检验又分为两种情况,一是配对栟本t检验,一是独立样本t检验。 基于以上评酒员的评酒过程,可以认为两组评分相互独立,即独立的。某种葡萄 酒(红或白)总体中,品质极优和极差的占少数,品质居中的占大多数,可以认 为该种葡菊酒品质分布即呈正态分布。通过以上分析可以发现,样本满足独立样 木t检验的要求,因此木文采用该方法分析两组评酒员的评价结果有无显著性差 异。独立样本τ检验又分为异方差检验和等方差检验,我们将根据F检验的p 值大小判断选取哪科检验方法,下文将做具体描述 、F检验模型的建立 独立样本t检验分为等方差t检验和异方差t检验,等方差t检验要求被检 验的两组数据具有相同或者相近的方差,异方差t检验则要求被检验的两组数据 具有差异显著的方差。因此,在t检验之前必须进行F检验,以判別两组数据方 差是否差异显著。 F检验法值通过计算两族数据的方差之比来检验两组数据是否存在显著差 异。比如,使用不同的分析方法对同一试殓进行测定得到的标准偏差不同;或几 个实验室用同一种分析方法测定同一试样,得到的标准偏差不同,这时就有必要 硏究产生这种差异的原因,通过F检验法就可以得到满意的解决。F检验法其步 骤如下 1)计算统计量方差之比。F=S2/S2;式中,S2、S2分别为两组测定值的方差 2)查F分布表 3)判断显著程度:当计算所得的F值大于F分布表中相应显著水平a和自由度 f、f的临界值F(1、f2),即F大于F(f、f2)时,则两组方差之间有显著差异; 当F小于F(、f2)时,则两组方差无显著性差异。在编制F分布表时,是将大 方差做分子,小方差做分母,所以,在由样本值计算统计量F值时,也要将样本 方差,S2、S2中的较大个作为分子,较小·个作为分母; 4)判断为t检验种类:当F检验差异显著时选取异方差t检验,若差异不显著 则选取等方差t检验。 表1t检验方法判断标准 F 差异显著程度 t检验方法 F≤0.05 差异显著 异方差检验 F>0.05 差异不显著 等方差检验 出此,从外观、香气、口感、平衡整体以及总得分五个方面进行分別计算出 红、白葡萄酒在的F检验值及采用的t检验方法为: 表2葡萄酒的t检验方法判断 属性 红葡萄酒 白葡萄酒 t检验方法 t检验方法 外观 0.0158 异方差检验 0.0059 异方差检验 香气 0.0037 异方差检验 0.2106 等方差检验 0.0006 异方差检验 0.0005 异方差检验 整体/平衡0001 异方差检验 0.0432 异方差检验 总分 0.0009 异方差检验0.004 异方差检验 2、独立样本异方差t检验模型的建立 独立样本t检验模型的步骤如下 )引入一个新的随机变量Y=X1-X2(H1,2分别表小两组评酒员对同一指标 的评分),则随机变量对应的样本值为 y1=x1-x2;i=1,2,…n 其中,x1x2为样木的观察值。这样,通过变换就转化成了单样木t检验的问题。 2)建立假设,即Ho:=0 3)构造t统计变量,等方差检验计算式为: (H1-F2) (1) 4 异方差检验计算式为 (n1-1)S2+(n2-1)S21 f=n1+n2-2) 其中,S是两样本相同的方差;S和S,为两样本方差;n1和n2为两样本容 量 4)由公式(1)、(2)计算得到t值,通过查表得到P值,即可进行分析。P值与 显著性差异关系如下: 表3显著性判断标准表 T 差异显著程度 7≥T(0.01P≤0.0 差异非常显著 7≥7(40:05P≤0.05 差异显著 7<7(40)05P>0.05 差异不显著 3、独立样本t检验模型的求解 对显著性差异的分析,根据附件一的分类指标,分别从外观、香气、口感 平衡整体以及总得分五个方面进行分析。下面以红葡萄酒为例,进行求解 首先,为了描述方便,本文引入如下符号: ,m=1,2;=1,2,…,27k,j=1,2…,10 该符号表示:第m组样品中,第k名评酒员对i样品属性j的评分;其中, 属性分别为澄淸度、色调、香气纯正度、吞气浓度、香气质量、口感纯正度、口 感浓度、持久性、口感质量、平衡/整体共计10个附件一中给出的评价属性, 1)外观方面显著性差异的分析 在第m组样品中,样品i的外观分析方面包括澄清度、色调两个属性,则该 方面得分可以通过如下公式计算得到 ∑∑C) (3) 10 由公式(2)计算得到两组评酒员对27个样品外观方面的评分。 附录1屮两列数据即为总体的两组观察值,数据如下 1:112 (4) 其中:x表示第m组数据中第k名评酒员对J方面的评分。根据外观方面 的观察值向量(3),即可对独立样本t检验模型求解 2)香气方面显著忙差异的分析 在第m组样品中,样品i的香气分析方面包括纯正度、浓度和质量三个属性 则该方面得分可以通过如下公式计算得到: 出公式(4)计算得到两组评酒员对27个样品香气方面的评分。 附录1中两列数据即为总体的两组观察值如下 (x1,x2…,x10),(x21,x2,…,x210) (6) 根据外观方面的观察值向量(5),即可对独立样本t检验模型求解 3)口感方亩显著性差异的分析 在第m组样品中,样品i的口感分析方面包括纯正度、浓度、持久性和质量 四个属性,则该方面得分可以通过如下公式计算得到: (7) 10 由公式(6)计算得到两组评酒员对27个样品口感方面的评分 附录1中两列数据即为总体的两组观察值如下: 10 根据外观方面的观察值向量(⑦),即可对独立样本t检验模型求解。 4)平衡整体方面显著性差异的分析 在第m组样品中,样品i的平衡整体分析方面仅有自身一个属性,则该方面 得分可以通过如下公式计算得到: ∑Cm 10 10 由公式(8)计算得到两组评酒员对27个样品平衡整休方面的评分见 附录1中两列数据即为总体的两组观察值如下 (x1,x2 21 根据外观方面的观察值向量(7),即可对独立样本t检验模型求解。 5)总得分的显著性差异的分析 在第m组样品屮,样品i的总得分可以通过如下公式计算得到 ∑∑ k=l i (11) 10 6 由公式(10)计算得到两组评酒员对27个样品平衡整体方亩的评分见。 附录1中两列数据即为总体的两组观察值如下 21 -210 (12) 根据外观方面的观察值向量(12),即可对独立样木t检验模型求解。 3、结果的分析 对独立样本t检验模型求解,得到P值结果如下 表4显著性差异计算结果 红葡萄酒 属性P值有无显著性差异P值有无显著性差异 外观0.0924 0.5509 香气0.1080 无无无无无 0.7401 凵)感0.2521 0.0027 平衡/整体0.7562 0.0043 无无有有无 分0.1100 0.0507 通过对表2的分析,可以发现,对于红葡菊酒,在外观、香气、口感和半衡 /整体四个方面,两组评酒员的评价均不存在显著性差异。对于白葡萄酒,外观 和香气两方面,两组评酒员的评价无显著性差异,而口感和平衡/整体方面存在 显著性差异。整体上看,无论是对红葡萄洒还是白葡萄洒,两组评酒员的评价结 果均不存在显著性差异。 5.1.2结果可靠性分析模型的建立与求解 本问题要求判断哪一组的结果更加可靠,对于某种葡萄酒,由于只能得到样 品的两组观察值,无法知道每个样品质量的真值,因此只能通过分析这两组观察 值来确定哪一组的结果相对吏加可靠 1、隶属度函数模型的提出21 1)确定表小隶属函数的凸模糊集合 设A为两组评价员对红葡萄酒的评估总分的集合,其隶属函数为x1(x),如 果对任意实数a<x<b,都有 14(x)≥min(P4(a),44(b) (13) 2)模糊统计法构建隶属度函数 模糊统计的基夲思想是对于论域U上:的一个确定元素v是否属于论域上的 一个叫变动的清晰集合A'做出清晰的判断。在每次统计中,v是固定的,A"的 值是可变的,作η次试殓,其模糊统计可按下式进行计算 对的隶属度"∈的次数 (14) 试验总次数n 随着n的增大,隶属频率也会趋于稳定,这个稳定值就是v对A'的隶属度值 7 这种方法比较直观地反映∫模猢概念中的隶属程度,但其计算量相当大。在这里 A为两组评酒员的所有分数组成集合中间区(-6,+),是二十个评酒员评 分均值,O是二个评酒员评分方差,v是第一组、第二组的评分,我们只需计 算并比较两组ν分別对A的隶属度。两组评牢的所有评分构成正态型隶属函数 分布图,即 b>0 (15) 以红葡萄酒样品一为例,其隶属函数分布图及两组评洒员的评分散点图比较如 下 红葡萄酒杵品1两组评酒员评分比较 0045 +第一组评分 ○第二组评分 总评分分布图 0.035 图 0.025 当0015 0. U1 评酒员评分 图1红葡萄酒酒样品一两组评酒员评分比较 2、隶属度的求解 根据现有数据,对隶属度进行求解得到结果如下 表5两组评酒员对葡萄酒评分隶属度 隶属度 样品 红葡萄酒 白葡萄酒 第一组 第二组 第一组 第二组 0.6 0.6 0.9 0.7 0.6 0.9 0.9 0.4 0.5 0.9 4 0.8 0.7 0.7 0.8 0.5 0.5 0.9 0.8 0.6 0.5 0.4 0.8 0.7 0.5 0.4 0.8 0.7 0.5 0.4 0.3 0.3 0.9 0.6 0.5 0.9 0.7 0.6 0.6 0.6 12 0.7 0.5 0.6 0.4 0.6 0.5 00 6 0.4 14 0.3 0.4 0.4 15 0.6 0.4 0.9 0.9 16 000 346 000 0.4 453 000 9 0.8 0.5 0.5 0.5 0.4 0.8 0123 222 0000 843 0000 5652 0000 799 0.9 0.4 24 0.5 0.5 0.6 222 678 000 000 .5 55 0000 969 0.4 以红葡萄酒为例,我们绘制岀第一组与第二组隶属度比较图: 红葡萄酒评分比较 0.8 0.6 帐0.4 第一组 第二组 .2 13579111315171921232527 酒样品 图2红葡萄酒第·、二组评分隶属度值比较 对以上数据进行统计分析,得到红荀萄洒中第二组全部高于第一组的隶属度 值,白葡萄酒中第二组评酒员评分隶属度值高于第一组隶属度值的有14种样品 酒,而第一组高于第二组的只有10种样品酒。同时,从图2中也可以直观地发 现第二组隶属度值高于第一组 3、结果分析 对于以上数据图表的分析: 根据上述原理,隶属虔值越大,评分可靠性越高。从整体上看,对于27种 样品,红葡萄酒中第二组全部高于第一组的隶属度值;对于28种样品,白葡萄 酒中第二组评酒员评分隶属度值高于第一组隶属度值的有14种样品,而第一组 高于第二组的只有10种样品。因而可以认为第二组的评价结果更加可靠。 5.2问题二模型的建立与求解 9 本问题涉及到葡萄理化指标与葡萄酒质量两个方面的因素。对于葡萄的理化 指标,包含了107个指标,我们先将所有葡萄酒理化指标进行归一化处理,根据 基于距离的聚类相似度算法,将所有的理化指标分类。然后通过单因素方差分析 显著性差异,最终确定分为组内差异小而组外差异显著的6类。对于葡萄洒的质 量,由第一问可以确定,第二组评酒员的评价结果更可靠,因此,利用第二组评 酒员对样本的评分来反映葡苟酒的质量,继而依据各类葡萄酒质量对其优劣进行 分级 5.2.1葡萄理化指标的分类 1、葡萄理化指标的初步分类 根据葡萄理化指标的相似度,我们采用了层次聚类方法将葡萄理化指标进行 初步分类。首先采用欧式距离公式 (16) 对葡萄理化指标进行预处理,得到指标与指标之间的距离 然后确定类间距离,以及类间距离的计算方式,按照指标间距离的远近,通 过把距离接近的数据一步一步归为一类,直到数据完全归为一类别为止,或者是 首先认为所有的数据都是个类别,然后通过把距离远的数据·步步分离开 来,直到所有的数据各自成为一类为止,这样就得到了一系列(从被合并为一大 类到这η个元素各自被分为一类)可能的聚类结果,最后再利用方差分析法来确 定聚为几类的结果是最为合适的。具体步骤如下 1)在层次聚类法中,当每个类别有多于一个的数据点构成时,就会涉及如何定 义两个类别间的距离的问题。根据计算两个类别之间距离的不同,会得到不同的 结果,也就进一步构成了不同的层次聚类方法。这里采用离差(散布 Scatter) 平方和法计算各数据之问的距离,这一方法的思想直接来自方差分析,是使得各 类别中的离差平方和较小,而不同类别之间的离差平方和较大。该方法将倾向于 使得各个类别间的样本量尽可能相近。公式推导如下:设类的重心是,类 内离差平方和为 S=∑(x2-x)(x2-x) 两类合并后,s要变大。把两类合并所增加的离差平方和定义为两类平方距离, 即当On=On∪O1时,定义D2=S,-S-S。可以证明,此时的D有 P9 pI(x-X (18 1+ 式中,x2、x分别为an、a的重心,mn、n分别为n、O的模式个数。离差 平方和法的递推公式为 -10- 【实例截图】
【核心代码】