线性系统理论和设计-仝茂达(中科大).pdf

【实例简介】
中科大自动化考研必备！！！线性系统理论和设计-仝茂达(中科大).pdf )
降推观测昼 ■·■■■■蚤十■■罩 ■■自■■_■备■會P■西自 ,(28 习烟 ■■■■ 日日曾甲日即日日即司自■q平曾即即曾P·■甲 ■早■ (284 第8章多项式矩阵和矩阵分式 由d唱 (28 8,1多项式及其互质忙 山■“上晶mh画■ 8.2行搜索法…93 83多项式矩阵及其质性……………,………………………………………(293) 84列〔行)化简多项式矩阵和真有理函数矩阵互质分式…………………………(307) 8.5 Smith型、矩阵柬和 Kronecker型………………(320) 习题8 品.b4·■4 ■■4品■晶↓ ·(328 第9章系统的多项式矩阵描述(PMD)和传递函数矩阵性质………”·(331) 9.1线性多变量系统的PML…… …(331 2基于矩阵分式的状态空间实现 ……“(336) 3PMD的状态空间实现和严格系统等价……………………(344) 在传递函教矩阵性质·……… ………(353 传递矩阵的极点、零点及其物理意义……………………………“…"(353 传递矩哞的赋值及结构特征 ·■·郾止b啬·L■啬■↓b↓b看甲L·■晶头甲着↓司↓ (364) 习題9……… 幽4日卜4唱+·4·"·“日日 …·(369) 第10章多变量反馈系統的设计…………………………"…"…"(373) 10.1组合系统的描述…………… 昏■晋昏冒■■订昏■個■晋备■↓臂■■TPPP平 (374) 10.2组合系统的能控性和能性……………………………………………(382) 多变量反偾系统的稳定性 (391) 1(.4单位反馈系统串联补偿器设计 …"……"(400) 单交量亲统 鲁噜■斷自會會噌■中■會_肀鲁自自早P中中即早章4即■·鲁 (400) 草入杀统成单紛出亲魷 403) 罗变登糸统的任靄校点配置 多变童尞统的任意分母矩阵配置…… ↓↓■b山↓■■最d↓ a…(411) 多变童亲统的解耦……;……,"………………“……(416) 10.5渐近跟踪和干扰抑制… 昏昏■■冒甲冒■ ,……,”……;-………(418 变量统… …(419 多变量统……… (421) 静态解耦的鲁摔设计与非鲁棒设计……………………“…"(423) 鲁摔控制糸统的状态空河设计法 …………"…………"(425) 10.6输入-输出反馈补偿器设计… …(427) 並变蚤条统……………………………………………………(427) 多变量来统 ■■口·!φ自饣平P …………………(429 开环传道矩阵的输入输出反馈实现及其应用 432) 习题10…………………………………" ………”……(445) 参考文献… ■■鱼冒冒冒1會· 449) 进一步参考文献 第1章数学基础 自50年代末期以来,许许多多控制理论专家和电网络理论专家纷纷投身于线性系统理论 的硏究,使之蓬勃发展,从而埏生了崭新的现代线性系统理论。这些专家们都善于用精确的数 学语言描述所研究的对象现代线性系统理论从它的诞生日起就和数学有着极紧密的联系。为 了透彻理解和深入掌握现代线性系统理论,为了研究和吸收线性系统理论的墩新成果,也为 数学的顺利完成和读者自学的方便,这里选择了与线性坐间线性变换矩阵函数等关的基 本内容供读者叵顾参考。对这些内容熟悉的读者可跳过不看。希望有更多了解的读者可参考 文献[1,2,3丁 1.1集和线性空间 “集”是数学中最基本的概念之一。集定义为具有相同属性事物的全体(或总和)。集中的 事物称为该集的元素。如果A是一个集,x是A的元素,记作x∈A:若x不是A的元素,则记 作xA,或xA今后运用x∈A表示集A中任一元素,或所有元素3x∈A表示集A中存 在元素z。集可以用列举法表示例如,A={-1,1,也可以用描述法表示,例如为了说明集R 是绝对值小于或等于1的实数集可用式(1.1形式江明其中r是R的元素 R r≤1 不包含任何元寰的集谓之空集,通常记为乐 如果两个集中元素…一对应相等或相同,就说这两个集相等。例如,A={-1,1}和B- x2-1=0}相等,记以A=B。如果集A的元素都属于集B,称A是B的子集或说A包含于 B,记作ACB;也可以说B包含A,记作B→A。由此可见A-B的充要条件是ACB,且BC 。文献肀常以此作为集A与集B相等的定义。若ACB,B中又确有元素不属于A,则称A为 B的了子集。例如A是半径为R的圆B仅是该圆的周边,B是A的真子集。规定空集是任何 集的子集。任何一个非空集A≠g至少具有两个了集;A和甲 集有四种基本运算:并、交差和积。集A与集B的并记作A∪B,表示A与B所有的元素 组成的集,因 AUB={x:x∈A或:∈B (12) 集A与集B的变记作A∩B,系A与B共有的元素组成的集,即 A∩B={x:x∈A且x∈B} 差记作B-A,表示属于B但不属于A的元素组成的集,即 B-A={x:x∈B但xeA} 积记作AXB表示属于A的元素a与属于B的元素b按先a后b的顺序构成有序对( b)所构成的集,即 AXB={(a,b):a∈A,b∈B 注意,AXB和BXA具有相同数目的元素,但最来说两者并不相等。式(1.5〉定义的积 也称为笛卡尔积。 和集紧密联系的概念有群环刘域。 群返F是一非空集,如果布F中存在某种运算*,使得a,b∈F,C=a*bF,且满足 下列条件则称为群 (1)结合往,即4:;a2,a3∈F (a1#a2)*a=a1为(a2米a) (2)F中有单位元素e,即Ya∈F,总有eka=a*e=a (3)F中有逆元素,即Ya≠0∈F,总有元素a,使得a*a=a米=e 如果集F及其运算只满足缩合律,你为半群若群F中元素还满足交换律即a,6∈ F,有a*b=E*a,则称群F为可交换群。悄者运算兴为加法相应的群称为加法群,若*表示 乘法,烂应的群就叫做乘法群。加法群中单位元素e为零,称为零元素,a时逆元素a=-a又 称为a的负元素。莱法群中单位元素为1,a的逆元素a=1/a=a-1 环设非空集F中规定了加法运算“+”和乘法运算“×”,即ya,∈F3a=a+b∈F 和3=ab∈F,面日满足下列条件则称为环 (1对加法言,F是可交换群; (2)对乘法而言,F是半群 (3)力法和乘法联合迳算时,乘沃对加法满足分配律,即 a1x(a2+a2)-a1Xa2+a:×a3,a1a2,as∈F 倘若环F还满足乘法交换律,又称为可交换环, 域(Fil、若F不仅是可交换环,而且对乘法而言又足可交换群,则F谓之域。显然,城 F具有单位元素t-1和逆元素 面举例说明域的概念。 例1.】假定有一集{0,1}3当我们用通常意义下的郝法和乘法运算时它不式其为域因 为11=2不在集内。然而,当我们规定0+0=1+1=,1+=1,0X1=9X0=0,1×1=1 脣,可以证明伴随这种规定下的加法运算和乘法运算,集{0,1满足域的各种要求所以它被称 为二元域。 例1.2假定有一形式如下的2×2短阵集 X 其中x和Y是任意实数,在通常意义的加法和乘法运算下,它构成一个域,这个域的加決 单位六素和乘法单位元素分别是 注意,并不是所2×2的矩阵集都能构成域 从上述例子可见,组成域的元素可以是多种多样的,关键在于对这些元素能规定出合适的 两种运算。本书将遇到的域是人们所熟知的:实数域复数域和实系数有理函数域盈()加 法运算和乘法运算均按通常意义规定之。注意,正实数不构成域,因为它无加法送;复数s的 实系数多项式形成的集也不树成域,因为无乘法逆。它们均是可交换环,分别记以限和R 有了集和域的明确定义更可讨论线性空同成向量空间概念。假设有一个元素称为间量x 的集X和一个元素为数的数域F,运假设在X中定义了向量加法即x1x2∈X,便有唯一的 量x=x+x2∈X以收F中的标量和X中向量间的标量乘法(即x1∈x,a∈F,使有 的向量x-axr1∈x),给出线世空间或最空定义如下; 线性空间(或向悬空间)当向量集X和数域F中元索进行的向量加和标量乘满足下面条 件则称X为域F上的绒性空间(或向量空间),记以(X,F) 1)向量加和标量乘具有封闭性和唯一生,即 x1,x2∈K,3x=x1+x2∈X 红:∈X和"a∈F ∈X (2)向珒加淸足交换律和结合律,目 十 十x1 ∈X 十x)十x3=r十X2十x (3)x中具有零向量0,即 U+rur 'xc X (4)对于X中每个向量x,总存在一个向量x,使得x+x=0 (5)标量乘满足结仑律,且 R∈F, (6)向量加和标量乘联合运算时满足分配律,即 a(x1十x2) a∈F a十P) x1tx2∈X ()F中有标量1,使得 函数是今后常用的另一个基本慨念。假没有两个非空集X和Y,如果对集x中每个元露 r至多只对应Y中唯一的一个元素y則称这种对应规律为函数,记以f:X→Y。函数赖以定 义的x的千集做函数的定义域y中对应定义域的子集叫徹函数的值域。值域中y称微定 义域中x的象,记以y=f(x)。用笛卡尔积又可以这样定义:设d是xXY的一个子集若对 K中的每个元素x,d中至多只有一个元素(ry)与之对应,则称这种对应关系y=f(x 为由X到y的函数即 ∈X}CⅩxY 例如图1.1(a)中曲线∫是一个函数,的定义域是x轴的子集(0,3x,值域是y轴的子 集{-1,1},y=sinx 但是图1.1(h)中曲线g不是函数。因为对于x轴中某些x;有一个或三个y值与之 应。函数有时也被称为映射变换或算子。数学书上常常要求函数y=f(x)是从数域X映射到 数域Y上。这里和文献「4一样,视这些术语为同义词而不强调它们之间细微差别 如果函数f:X→F中,X系n个集X,=1,2,,n)的笛卡尔积,它还可以与藏 X 若x;,x2,……,xn分别为集x1,X2,…,X的元素,则函数f使X中每个有序数组(x1x2,…;xn} 与Y中某个唯一的元素y发生了如下关系 故函数:×X2×…XXn→F是一个由X1×M2X…×X到Y的多变量函数。例如,函数 f(x.y),若x,y和z为实数即均为实数集R中元素,则可写成 ∫:RxR→R或f:R2→R (1.8 图1.1(曲线f表示一个函数;(b)线g并不表示一个函数 现在回过头来按照向量空间定义,介绍一些关于向量空间的例子 例13 个域若以其自身的加法运算乘法运算定义向量加和标量乘则构成该域上 的向量空间例如实数域限形成以R为域的向量空间(配)。同样复数域c形成以为域的向 量空间(C。)。注意,(E)悬问量空间,但是(2C)不是。((5):2()和(烈))也是向 量空间,但是(,())却不是 例14定义在(-∞,∞)上的分段连续实函数在实数琙殴上构成向量空洵,其向量加和 标量乘按通常方法定义。这个向量空间称做实函数空间。 例15已知一域F,令F是所有n个标量组成如(19)中列x,的集其中第个下标k h=1,2,…,n,表示x:的第k个分量,第二个下标表示F中的第个元素。如果间量排和菘 量乘定义如式(1.0)所示 十x + r;十x 1.10) 那么(F,F)矩是一个向量空间。倘若F=R,《2,E称做n维实向量空间;倘若F=C,则(C, C称做x维复向量空间。再若F一欧(),(政(5),配(5)便称做n维有理空间,或n维实系数有 理函教空同 例1.6设W芳由所有标最函数t:S→F所构成的集,其中S任意非室集,对于任何s 长有v{)∈F。若定义向量加和标量乘如式(1,11所示 Lutist(s ∈W (aw)(s)=e(s,a∈F,l∈W 则(W,F)构成一量空间 设(X,F)是线性空间,Y是X的了集,惝若在(X,F)的运算定义下,Y也构成F上的空 间,则称(Y,F)是(X,F)的子空间:判别Y是X的子空间的充要条件是:(aY是非空集;(b Y在向量加和标量乘下皆是封闭的。即Yy,y2∈Y.y=y1+y2∈Y;Yy1∈Y和a∈F,y=aP ∈Y。或者,a12∈F和y2,y2∈Y,3y=a1y1+a2y2∈Y例如在二维实向量空间《2,R)中,每 条过原点的直线皆是(配2,的子空间。又如实向量空间(”,)是向量充间(c,战)的子 空间。 基和基底变换 每一个几何平面都可用两条互相垂直芹具有同样标尺的轴表示。藉助于这样的两条轴就 可指明平面中的每个点或每个向量。本节将把这一概念推广到一般的线性空间。在线性空间 中,坐标系被称为基。基向量并不一定彼此垂直也可能有不同的标尺在引出基概念之前,首 先介绍向量的线性相关与线生无关的危义。 线性相关与线性元关:设向量空问(X,F)中一组向量x1,x2,“…,x,如果在F中存在 组天全为0的标量巛1,a1,…,an,使得 a1x1+agX2+… 那么就称这一组向量x1,x3,…,x线性相关;相反,只有当a:=a2=…=-0时,式(112)才 成立,则称这组向量线性无关 定义可见,线性相关不仅取决于向量集X,也依敕于域F。例如,下画向量集x, +1 :+1)(s+3 在实系数有理函数域中是线性相关的。例如,选择 5+3 可使ex1+a2k2=0,然而,在实数域中它们线性无关。由定义可看出,如果x,x2,…,x线在 相关,至少有一个向量可用其他向量的线性组合表示。过未必每一个向量都可用其他向量的 线性组合表示 向量空间的维数:向量室(X,F中线性无关向量的最大数日称做向量空间X,F)的维 数,记作dmX。 敦面提到的n维实向量空间(R,R就因为它最多只有n个线性无关的向量。有些情况下 向量空间的维数有无穿多个,例如定义在(-∞,∞)间内的所有分段连续实函数形成的函数 空闯是无限维的。以理"函数为例,欲使 必须每一个c都是零。在这个函数空间中还有无穷多个类似这样的函数 基设{x,2…其m}是向量空问(X,F)中一组线性无向量,且X中每个向量x均可月他 们的唯一的线组合方式表达,则x1,X2,…,x1}称为的基基君用符号E=(P1,a2;…,)表示 显见,n维向量空间X中任意一组n个线性无关向量均有资格作为基。一H(e1,e2;…,En) 远定后,就说ⅹ由基E=(e1,e:…,en)张成,即 X=span(e1e2,…;en) 倘若n继向量空间X有两个基E=(e1,2,…n)和E=(e1,2…,),X中某个向量x在E 和E下分别表示成 >)ae,=(g1@2…en (1,13) 和 (1.14 其中g=(1a2…an),=(a.a1…a),T表云转置。既然式(1.13)利(1.14)表达的是同一个 向量,和a之间应有一定的关系。因此,我们必须知道用E=(eE2…E)表达e=1,2, n)的表达式,和用E=(1e2…e表达e(1;2,…,z)的表达式。假定后一种表达式如下 e1e2…En) PIzi= 1, 2 其中P=(p;p2…pn)是的,在基E下的坐标。应月矩阵符号将(115)玫写成 )(EP1Ep2…EP) E(1p2…P2) 16a Ep 其中 力11P12 P21 2 1.16b) Pn 将(1.16代入(113)并令其与1.14)相等,有 r== epa= ea (1,17 因为x在基E下的表达式是唯…的,所以 a- pa (1.18 反过来用E去表达E1=1,2,…,,类似地可导出 α÷O 矩阵Q的第列便是e相对于基E的表达式。(1.18)和(1.19)说明 PQ一或P=Q 通背使得最多的基是(1.21)表示的自然基或标准基。 0 0 0 0 Q , 1.21) 0 向量x在自然基下便是其坐标组成的列,见(1.22) (m12…n, 1.22) 1.3向量范数、内积和格兰姆矩阵 正妇在维或三维欧氏空间可以用某点到原点的长度表示相应向量的人小或长短一样, 亦可以用向量的范数表示n维乃柔无限进空间中向量的长短或大小 范数域F上的应量空间X的范数是一个由X到的函数‖·‖:X→R,它赋子每个 向量x∈X一个实数,‖⊥‖代表x的长度。函数|·‖XR必须满足下面三个条件 (1)lx‖≥3,当且仅当r=0时有‖x‖=0 2) Ar a·1xh,wc∈F和ˇ∈x; (3)‖x+y|≤‖x‖+|p|,"x,y∈ⅹ 对于给定的(X,F),若规定了池数作为x(X的长短或大小的度量后,(x,F)便谓之赋范空 间满足上术条件的函数有很多,它们均可作为向量范数。在表11中列出了常的几种范数 每种范数在实际问题中代表了不同的物理意义。 表11几种常用范费 范数名称 连空间范数表达式 无限缌空间范数表达式 范数 maxt ()‖ i(t) 均匀范数) 范数 f、)dr 范数 E lf(t)‖ fCt.da 欧几里德范数 LP范数 ‖f(t) 法:表向∫(t)是勒贝将可积函数 比如在所有连续实函数f(t)t∈[ab],构成的函数空间C[,b]中,L2范数‖f() f()d:可以认为代表了信号所含能量大小,而L范数|f() nax f(e 【实例截图】
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