实例介绍
【实例简介】
线性系统理论是系统与控制科学领域的一门最为基础的课程。本书按照课程的定位和少而精的原则, 以线性系统为基本研究对象, 对线性系统的时间域理论和复频率域理论作了系统而全面的论述。主要内容包括系统的状态空间描述和矩阵分式描述, 系统特性和运动的时间域分析和复频率域分析, 系统基于各类性能指标的时间域综合和复频率域综合等。 本书体系新颖, 内容丰富, 论述严谨, 重点突出。内容取舍上强调基础性和实用性, 论述方式上力求符合理工科学生的认识规律。每章都配有相当数量不同类型的习题。本书可作为理工科大学生和研究生的教材或参考书, 也可供科学工作者和工程技术人员学习参考。
第一章线性系统的基本概念 系统分析研究的第一步是建立描述系统的数学方程。由于所解决的问题不同,所用的分 析方法个同,描述同一系统的数学表达式往往有所不同。经典控制理论中的传递函数就是定 常线性系统输入一输岀关系的一种措述,而现代探制珥论中状态变量的描述方法,不仅描述 了系统输入输出关系,还描述了系统内部的特性。 本章将从非常般的情形出发,引入系统输入一输山描述和状态变量描述,并叙述两种 述之间的关系。一方面可以算是对本科阶段已经学过的内容进行复习和扩充,另一方面也 是为今后系统的分析和研究作必要的准备。 §11系统的输入输出描述 系统的输入一输出描述给出了系统输入与输出之间的关系。在推导这一描述时,系统内 部结构的信息是不知道的。唯可接触的是系统的输入诰与输山端。在这种情况下,可把系 统看作是如图1—1所示的一个“黑箱”。显然,我们所能做的只是向该黑箱施加各种类型的 输入并测量与之相应的输出。然后,从这些输入一输出对中获悉有关系统的重要特性。 “黑箱” 图1-1系统的输入一输出描述 我们先介绍一些符号。在图1-1中,有p个输入端,q个输出端。v,a2,…,为 输入,或用p×1外向量u=v2….an表示输入。1’2,…,3n表示输出,同 样,可用qx1列向量y=[熟…v表示输出。输入或输出有定义的时间区间为 (-,+∞),用n或m()表示定义在(-x,+x)的向量函数,而u(t)则表示n在时间t的值。 若n仅定义在t,t1),则表示为)° 定义11当且仅当p= 1时,系统称为单变量系统,否则称为多变量系统 初始松弛的概念若系统在to时刻的输出仅取决于其在to时的输入,则称该系统为瞬时系 统或无记忆系统。只由电阻组成的网络就是这样的系统。然而,更为普遍的系统不是瞬时系 统,即系统在to时的输出不仅取决于to时的输入,而且也取决于t以前和(或)以后的输入。 因此,当输入n+x)加于系统时,我们如果不知道4以前的输入卫那是无法确定输出 yn+y的。换句话说,在这种情况下,输入n1+)与y1+)没有唯一确定的关系。显然 这科没有唯一确定关系的输入—输出对,对于决定系统重要特性是亳无用处的。因此在推导 输入—输出描述时,必须假定在加入输入之前系统是松弛的或是静止的,且输岀仅仅唯一地 由嗣后的输入所引起。如果从能量的概念来看,这种假定意味着,若系统在t时刻不存储 任何能量,我们就说系统在to时刻是松弛的。在工程实践中,我们总可认为系统在-∞时 刻是不存储任何能量的,也就是说总可假定系统在-∞时是松弛或静山的。这时若在-∞时 把输入n(-∞+如入系统,则与之相应的输出是唯一的,完全由输入n(-+x所决定。我们 称-∞时松弛或静止的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统。对于一个松弛系统,自然就 有 ylt =Hi 其中,H是某一算子,通过它由系统的输入唯一地规定了系统的输出。式(1-1)也可用下面 等价的写法表示: y(t) =且u Vt∈(-∞o,+ (1-2) 线性式(1-2)表示了一般的初始松弛系统,若对算子H的性质加上适当艰制,就可以得到 初始松抛的线性系统的表达形式。 定义1-2一个松弛系统称为线性的,当且仅当对于任何输入u和u2,以及任何实数a1和 02, 有 H(a all 否则称为非线性系统。 式(13的条件又可写成:对于任何m和u2及任何实数a有 Hiu+u= Hu+ H (14) Hlau)= ahu' 很容易证明条件(1-3)和条作(1-4)、(1—5)是等价的。式(1-4)称为可加性,而式(1—5 称为齐次性。可加性与齐次性合称叠加原理。在经舆控制理论屮,我们就已经用叠加原理是 香成立米区分线性系统和非线性系统了。 要特别指出的是,齐次性和可加性是两个不可互相代替的概念,即具有齐次性的系统并 不意味着可加性成立。现举例如下: 例1—1设一单变量系统,对所有t,其输入输出之间有关系 当t(t-1)≠0 0￥1a(t-1)=0 容易验证,这一输入一翰出对满足齐次性,但不满足可加性。 同样,可加性一般也不隐含齐次性,因为(15)中的a要求是工何实数。具体地说,由 (14)式可以推导出对仨何有理数a有Hau)=ah成立(见习题19),但一般不能导出a 是无理数时,式(1—5)也成立 线性松弛系统的脉冲响应首先我们引入δ函数 或脉冲数的概念,为此考虑图12所小的脉动 函数6△(L-41),即 t1 11 图1—-2脉动函数△(t-4) t< 6△(t-) 右1≤t<t+△ t>t+△ 对于所有的△,8△(t-h)的面积总是1,它表明了脉动的强度。当△趋于零时,△(t-1)的 极限 8(t-t)=lim 5(t-t, 称为时刻的单位球冲函数,或简称6函数。δ函数最重要的性质是采样性,即对在连续 的任何函数f),有 f(t6(t-tuidt= f(t) (1-6) 利用脉冲函数的概念,就很容易导出单变量线性松弛的输入一输出的描述。因为每一分段连 续的输入w()均可用一系列脉冲函数来近似,如图1-3所小,即 ∑4b△(t-t)△ (1)2(t-t) 图1一3用脉冲函数近似输入 因为系统是初始松弛的线性系统,故输出 y=bu≈∑64(t-t1)(t)2 当△趋于零时,(7)式成为 H(t- r)(rldr (18) 若对所有的r,H5(t-r)为已知,则对于任何输入,输出可由(1-8)定义。 HS(t-T= g(t, T) 式(1—9)中gt,r)的变量r表示δ函数加于系统的时刻,而第一个变量为观测输出的时刻 利用式(19)可将18)改写为 g(1)(r) (110) 即单变量线性松弛系统,其输入一输出关系完全由式(1-10)的卷积积分所描述 芢个初始松弛的线性系统,具有ρ个输入端和σ个输岀端,则(1-10)式可相应地推 丿为 y(t) G(t,Thu(rd (1-11 其中 gi(t, T) g12(t, r).g1,(t T) (,)g2(1r)…gp(t G(t, r) gn1(t,7)912(t,7)…gmn(t7) 称为系统的脉冲响应矩阵。()的元9(T)物理意义是,只在系统第j个输入端,于时刻 τ加脉冲函数,其它输入端不加信号,这时,在系统第i个输出端引起的时刻t的响应。或 者简单的说σ;(t,τ)是第i个输出端对第j个输入的尿冲响应。 这里我们规定今后所研究的脉冲响应G,可含有一系列的b函数,并且除了这些b函 数之外,G(tT)的其余部分是r和t(>T)的分段连续函数。在这一假定下,如果输入是分 段迮续函数,则输出也是分段连续函数。因此,线性松弛系统可以看作一个线性算子,它将 定义在(-∞,+∞)上出所有分段连续函数组成的无限维空间映射到另一个无限维函数空间。 因果性若系统在时刻t的输出不取决于t之后的输入,而只取决于时刻t和在t之前的输 入则称系统具有因栗性。任何实际的物理系统都是具有因果性的。通俗地说任何实际物理过 程,结果总不会在引起这种结果的的原因发生之前产生。习题1-8引入了一个算子,被称 为截断算了,定义如下: u()t< t )=Pu(t) 因果性可用截断算子来表示。即表示的系统是具有因果性的,是指如下关系成立: Pr(Hu)=Pr(HPu) VT 式左端的输入比右边的多了t>T的一段,而输出在t<T是一样的,这说明t>r的输 入对t<T的输出无影响 图1—4系统的因果性 对于有因果性的松弛系统,其输入和输出的关系可以写成 y(t =Hu t∈(-∞,+∞) 对于具有线性和因果性的松弛系统,根据Gt,的定义,G()中的每一个元都是时刻r加 于系统的δ函数输入所引起的输出,若系统具有因果性,则系统在加入输入之前的输出为 即 G(t,r)=0t<r,T∈( (1-13) 故具有线性和因果的松弛系统的输入一输出描述为: t)=G(,Tmnr)dr (1-14) to时刻的松弛性现在将前面所说的初始松弛的概念用于任意时刻tos 定义13系统在时刻t称为松弛的,当且仅当输出yn+∞)仅仅唯一地由u+x)所决定 若已知系统在t时松弛,则其输入一输出关系可以写成 Hu (1-15) 显然,若系统初始松弛,且x≈0,则系统在时刻t也是松弛的。但是对初始松弛系 统, 0,并非系统在to松弛的必要条件。 例1—2考虑一个单位延迟系统。这种系统的输出就是输入延迟了单位时间,即对所有的t, 有4)=(t-1)。虽然-sh-1)=≠0,但只要t-1)=0,则系统在to是松抛的。 对于线性系统而言,不难让明,系统在to松弛的充要条件是,对于所有的t≥t,有 y)=hm)=0°也就是说,若v-N6)对于to以后的输出无影响,则线性系统在t时 刻是松弛的。在t时刻是松弛的线性系统,它的一种输入一输出描述可表示为 (1-16) 一个很自然的问题是,给定一个线性系统,如何判断该系统在t刑是松弛的?前面虽然 给出一个充要条件,但条件中要考察系统过去的历史情况,即un对系统的影响。下面 的定理给出的判断可以不必知道系统过去的历史。 定理1-1由下式指述的系统 y(t)- Gt, Tjul(r)d 在右是松弛的,必要且只要叫1+则)=0隐含着y+3)≡0 证明必要性。若系统在to松弛,则对于t≥t,输出y()为广G1T如(dr,因此若 h,+∞x)≡0,则有 ≡0。 充分性。因为 )= 欢所有∈(-∞,+∞)均成立。在1+)≡0时和y1n+s)=0的假定条件下,可得 G(t,7u1r7=0 即吗对输出y((t≥t)的影响为零,因此系统在t是松犯的 定理1—1虽然给出了判断t时刻是否松弛的规则,但是在实用中想要从to到+∞来 观测输出仍然是不现实竹。下面的推论将给出判断t松弛的一个实用条件。 推论11若系统的脉冲响应阵G(,T)可以分解成G(,r)=M(tN(x),且Mt中每一个元素 在(-∞,+∞)上是解析的(注1-1),则系统在松弛的一个充分条件是对于某个固定的正数 ,ukn)=0意味着yn1)=0 证明若u1+N)=0,则系统输出y()为 ()=广cr)()x=MN7m(7)r,≥有 h式最后一个积分的结果是与t无关的常向量,故M(t)是解析的假定意味着y(t)在 t,+∞).是解析的,又因为y4+2)=0,解析开拓原理可知yn+≡0。至此我们证明 了un+3)三0隐含y,+8)≡0,由定理1-1可知系统在右是松抛的。 推论1—1的结果之所以重要,是因为对于任何满足推论1—1条件的系统,其松弛性可 以由任何非零时问区间上观测输出来确定。若在该区问内系统的输出为零,则系统在该时刻 是松弛的。以后我们将证明凡可由有理传递函数阵或线性常系数微分方程描述的系统,是满 足推论1-1的条件的。因此推论1—1具有广泛的实用价值。 时不变性先介绍位移算子Q的概念,位移算子Q2的作用效果如图1-5所小。经Q作 用后的输出等于延迟了c秒的输入。 用数学式子可表示为: u(t)=Qu(t) (1-17) 即对任意的t,有 t-a)或u(t+a)=u(t 成立 图1—5位移算子的作月效果 定义14松弛系统称为时不变的,当且仅当对于仟何输入u和仟何实数a,有 HQ u=Q Hu (1-18) 成立。否则称为时变的。 关系式(118的含义是:若输入位移α秒,输出波形除位移a秒之外保持不变。换句 话说,不管在什么时刻把输入加于时不变松驰系统,输出波形总是相同的。对线性松弛系统 若又具有时不变性,这时的脉冲响应函数仅仅取决于加脉冲时刻T和观测时刻t之差,即 Hb(-r)=(t-r,0)←实际上,根据时不变性有 Q。H( HQ26(5-T)=H-{7+)=9(t7+a) 白(a的定义,等式(gtη)=g(t,+a)意味着对于任何的t、r、都有gt,)= g{t+a,r+a)成立。如取a=-就可得 g(,T)=g(t-7,0)Vt,7 为了便起见,今后仍把gt-T,0)记为g(t-r)。这一结论推广到多变量系统就是:对于所 有的t和r有 G(t,)=G(t-T,0)=G(t-7 因而线性、吋不变性,在bo吋刻松驰的因果系统,其输入输出对满足 (t)=G(t-rJu(r)d (119 在时不变的情况下,不失一般性,总可以选零作为初始时刻to;即t=0是开始研究系 统或开始向系统提供输入u的时刻,这时(1-19)式就变成下列卷积积分的形式 ()=G(t-Tu()d7 (1—20) 或 (121) 传递函数阵和它的极点多项式 将(120)式进行拉氏变换,并记 Y(s)=L(y(t)]= y(t) atat 由拉氏变换的卷积定理,可得 Y(s=G(U(s) 式中C(=J(“M是脉冲响应阵的拉氏变换,称为系统的传函数阵 传递函数阵的元素不一定是s的有理函数,但在本教材中历讨论的传递函数阵,其元 素都是5的有理函数,这样的传递函数阵称为有理函数矩阵。今后我们总假定G()的每一 个元都已经是既约形式,即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。推广 绉舆控制原玛中关于传递函数零点和极点的概念,可以定义有理传递函数阵Gs)的零点和 极点。有理函数阵零点和极点的等价定义很多附录A),为了尽可能不涉及多项式矩阵和多 项式矩阵互质的概念,我们这甲采用G(s)的不同子式来定义它的零点和极点。设Gs)是 g×p有理函数阵,且G(s)的秩为r。 定义15Gs)所有不恒为零的各阶子式的首一最小公分母称为G(s)的板点多项式。极点多 项式的专点称为Gs)的板点。 定义16Gs)的所有r阶了式,在其分母取G(s)的极点多项式时,其分了的首最大公 因式称为Gs的零点多项式。零点多项式的零点称为G()的零点。 定义中的“首一”表示一个多项式的最高幂次项的系数为1。定义1-5在第三章中还 要用到。根据定义1-5和定义16,可直接计算G(s)的零点和极点。 例1—3若 +1 G (s+1)(8+2) 1 1s+2 s+2 根据定义15,可以计算出c(s)的一阶子式的公分母为(3+1(3-1)(s+2),而G(s)的三个 二阶子式分别为 2 (s+1(s+2)’(s+1)(s+22’(+1)(s+2) 二阶子式的公分母为(s+1)(s+2)2。因此G(s的极点多项式为一阶子式的公分母和二阶子 式的公分母的最小公倍式,即(s+1)(s-1)(s+2)2,显然Gs)有四个板点,它们分别为-1、 2、-2和+1。另外三个二阶子式在分母取成板点多项式时分别为 1)2 2(s-1(s+2) (+1)(-1(3+2(6+1(6-1)+2)2(8+1)(8-1(8+2 它们分子的最大公因式为(s-1),因此G(s)的零点多项式为(s-1),G有一个零点8=1 注1-1实变量解析函数:f()在(a,b)是解析的,若对于a,b)中任一点t,存在一个c0,使 得对(-2b+-o)中所有t,f()可表示成和处的泰勒级数 f()=∑ (t-to)"(zei fIre(tu) 定理12(解析开拓)若函数∫在D上解析,已知酌数在⑩中任意小的非零区间上恒为零, 则函数在D上恒为零。 证明如果函数f在任意小的非零区间(t)上恒为零,则函数其各价导数在区间(,+)上 恒为零。通过解析开拓,函数∫在⑩上恒为零。 【实例截图】
【核心代码】
线性系统理论是系统与控制科学领域的一门最为基础的课程。本书按照课程的定位和少而精的原则, 以线性系统为基本研究对象, 对线性系统的时间域理论和复频率域理论作了系统而全面的论述。主要内容包括系统的状态空间描述和矩阵分式描述, 系统特性和运动的时间域分析和复频率域分析, 系统基于各类性能指标的时间域综合和复频率域综合等。 本书体系新颖, 内容丰富, 论述严谨, 重点突出。内容取舍上强调基础性和实用性, 论述方式上力求符合理工科学生的认识规律。每章都配有相当数量不同类型的习题。本书可作为理工科大学生和研究生的教材或参考书, 也可供科学工作者和工程技术人员学习参考。
第一章线性系统的基本概念 系统分析研究的第一步是建立描述系统的数学方程。由于所解决的问题不同,所用的分 析方法个同,描述同一系统的数学表达式往往有所不同。经典控制理论中的传递函数就是定 常线性系统输入一输岀关系的一种措述,而现代探制珥论中状态变量的描述方法,不仅描述 了系统输入输出关系,还描述了系统内部的特性。 本章将从非常般的情形出发,引入系统输入一输山描述和状态变量描述,并叙述两种 述之间的关系。一方面可以算是对本科阶段已经学过的内容进行复习和扩充,另一方面也 是为今后系统的分析和研究作必要的准备。 §11系统的输入输出描述 系统的输入一输出描述给出了系统输入与输出之间的关系。在推导这一描述时,系统内 部结构的信息是不知道的。唯可接触的是系统的输入诰与输山端。在这种情况下,可把系 统看作是如图1—1所示的一个“黑箱”。显然,我们所能做的只是向该黑箱施加各种类型的 输入并测量与之相应的输出。然后,从这些输入一输出对中获悉有关系统的重要特性。 “黑箱” 图1-1系统的输入一输出描述 我们先介绍一些符号。在图1-1中,有p个输入端,q个输出端。v,a2,…,为 输入,或用p×1外向量u=v2….an表示输入。1’2,…,3n表示输出,同 样,可用qx1列向量y=[熟…v表示输出。输入或输出有定义的时间区间为 (-,+∞),用n或m()表示定义在(-x,+x)的向量函数,而u(t)则表示n在时间t的值。 若n仅定义在t,t1),则表示为)° 定义11当且仅当p= 1时,系统称为单变量系统,否则称为多变量系统 初始松弛的概念若系统在to时刻的输出仅取决于其在to时的输入,则称该系统为瞬时系 统或无记忆系统。只由电阻组成的网络就是这样的系统。然而,更为普遍的系统不是瞬时系 统,即系统在to时的输出不仅取决于to时的输入,而且也取决于t以前和(或)以后的输入。 因此,当输入n+x)加于系统时,我们如果不知道4以前的输入卫那是无法确定输出 yn+y的。换句话说,在这种情况下,输入n1+)与y1+)没有唯一确定的关系。显然 这科没有唯一确定关系的输入—输出对,对于决定系统重要特性是亳无用处的。因此在推导 输入—输出描述时,必须假定在加入输入之前系统是松弛的或是静止的,且输岀仅仅唯一地 由嗣后的输入所引起。如果从能量的概念来看,这种假定意味着,若系统在t时刻不存储 任何能量,我们就说系统在to时刻是松弛的。在工程实践中,我们总可认为系统在-∞时 刻是不存储任何能量的,也就是说总可假定系统在-∞时是松弛或静山的。这时若在-∞时 把输入n(-∞+如入系统,则与之相应的输出是唯一的,完全由输入n(-+x所决定。我们 称-∞时松弛或静止的系统为初始松弛系统或简称为松弛系统。对于一个松弛系统,自然就 有 ylt =Hi 其中,H是某一算子,通过它由系统的输入唯一地规定了系统的输出。式(1-1)也可用下面 等价的写法表示: y(t) =且u Vt∈(-∞o,+ (1-2) 线性式(1-2)表示了一般的初始松弛系统,若对算子H的性质加上适当艰制,就可以得到 初始松抛的线性系统的表达形式。 定义1-2一个松弛系统称为线性的,当且仅当对于任何输入u和u2,以及任何实数a1和 02, 有 H(a all 否则称为非线性系统。 式(13的条件又可写成:对于任何m和u2及任何实数a有 Hiu+u= Hu+ H (14) Hlau)= ahu' 很容易证明条件(1-3)和条作(1-4)、(1—5)是等价的。式(1-4)称为可加性,而式(1—5 称为齐次性。可加性与齐次性合称叠加原理。在经舆控制理论屮,我们就已经用叠加原理是 香成立米区分线性系统和非线性系统了。 要特别指出的是,齐次性和可加性是两个不可互相代替的概念,即具有齐次性的系统并 不意味着可加性成立。现举例如下: 例1—1设一单变量系统,对所有t,其输入输出之间有关系 当t(t-1)≠0 0￥1a(t-1)=0 容易验证,这一输入一翰出对满足齐次性,但不满足可加性。 同样,可加性一般也不隐含齐次性,因为(15)中的a要求是工何实数。具体地说,由 (14)式可以推导出对仨何有理数a有Hau)=ah成立(见习题19),但一般不能导出a 是无理数时,式(1—5)也成立 线性松弛系统的脉冲响应首先我们引入δ函数 或脉冲数的概念,为此考虑图12所小的脉动 函数6△(L-41),即 t1 11 图1—-2脉动函数△(t-4) t< 6△(t-) 右1≤t<t+△ t>t+△ 对于所有的△,8△(t-h)的面积总是1,它表明了脉动的强度。当△趋于零时,△(t-1)的 极限 8(t-t)=lim 5(t-t, 称为时刻的单位球冲函数,或简称6函数。δ函数最重要的性质是采样性,即对在连续 的任何函数f),有 f(t6(t-tuidt= f(t) (1-6) 利用脉冲函数的概念,就很容易导出单变量线性松弛的输入一输出的描述。因为每一分段连 续的输入w()均可用一系列脉冲函数来近似,如图1-3所小,即 ∑4b△(t-t)△ (1)2(t-t) 图1一3用脉冲函数近似输入 因为系统是初始松弛的线性系统,故输出 y=bu≈∑64(t-t1)(t)2 当△趋于零时,(7)式成为 H(t- r)(rldr (18) 若对所有的r,H5(t-r)为已知,则对于任何输入,输出可由(1-8)定义。 HS(t-T= g(t, T) 式(1—9)中gt,r)的变量r表示δ函数加于系统的时刻,而第一个变量为观测输出的时刻 利用式(19)可将18)改写为 g(1)(r) (110) 即单变量线性松弛系统,其输入一输出关系完全由式(1-10)的卷积积分所描述 芢个初始松弛的线性系统,具有ρ个输入端和σ个输岀端,则(1-10)式可相应地推 丿为 y(t) G(t,Thu(rd (1-11 其中 gi(t, T) g12(t, r).g1,(t T) (,)g2(1r)…gp(t G(t, r) gn1(t,7)912(t,7)…gmn(t7) 称为系统的脉冲响应矩阵。()的元9(T)物理意义是,只在系统第j个输入端,于时刻 τ加脉冲函数,其它输入端不加信号,这时,在系统第i个输出端引起的时刻t的响应。或 者简单的说σ;(t,τ)是第i个输出端对第j个输入的尿冲响应。 这里我们规定今后所研究的脉冲响应G,可含有一系列的b函数,并且除了这些b函 数之外,G(tT)的其余部分是r和t(>T)的分段连续函数。在这一假定下,如果输入是分 段迮续函数,则输出也是分段连续函数。因此,线性松弛系统可以看作一个线性算子,它将 定义在(-∞,+∞)上出所有分段连续函数组成的无限维空间映射到另一个无限维函数空间。 因果性若系统在时刻t的输出不取决于t之后的输入,而只取决于时刻t和在t之前的输 入则称系统具有因栗性。任何实际的物理系统都是具有因果性的。通俗地说任何实际物理过 程,结果总不会在引起这种结果的的原因发生之前产生。习题1-8引入了一个算子,被称 为截断算了,定义如下: u()t< t )=Pu(t) 因果性可用截断算子来表示。即表示的系统是具有因果性的,是指如下关系成立: Pr(Hu)=Pr(HPu) VT 式左端的输入比右边的多了t>T的一段,而输出在t<T是一样的,这说明t>r的输 入对t<T的输出无影响 图1—4系统的因果性 对于有因果性的松弛系统,其输入和输出的关系可以写成 y(t =Hu t∈(-∞,+∞) 对于具有线性和因果性的松弛系统,根据Gt,的定义,G()中的每一个元都是时刻r加 于系统的δ函数输入所引起的输出,若系统具有因果性,则系统在加入输入之前的输出为 即 G(t,r)=0t<r,T∈( (1-13) 故具有线性和因果的松弛系统的输入一输出描述为: t)=G(,Tmnr)dr (1-14) to时刻的松弛性现在将前面所说的初始松弛的概念用于任意时刻tos 定义13系统在时刻t称为松弛的,当且仅当输出yn+∞)仅仅唯一地由u+x)所决定 若已知系统在t时松弛,则其输入一输出关系可以写成 Hu (1-15) 显然,若系统初始松弛,且x≈0,则系统在时刻t也是松弛的。但是对初始松弛系 统, 0,并非系统在to松弛的必要条件。 例1—2考虑一个单位延迟系统。这种系统的输出就是输入延迟了单位时间,即对所有的t, 有4)=(t-1)。虽然-sh-1)=≠0,但只要t-1)=0,则系统在to是松抛的。 对于线性系统而言,不难让明,系统在to松弛的充要条件是,对于所有的t≥t,有 y)=hm)=0°也就是说,若v-N6)对于to以后的输出无影响,则线性系统在t时 刻是松弛的。在t时刻是松弛的线性系统,它的一种输入一输出描述可表示为 (1-16) 一个很自然的问题是,给定一个线性系统,如何判断该系统在t刑是松弛的?前面虽然 给出一个充要条件,但条件中要考察系统过去的历史情况,即un对系统的影响。下面 的定理给出的判断可以不必知道系统过去的历史。 定理1-1由下式指述的系统 y(t)- Gt, Tjul(r)d 在右是松弛的,必要且只要叫1+则)=0隐含着y+3)≡0 证明必要性。若系统在to松弛,则对于t≥t,输出y()为广G1T如(dr,因此若 h,+∞x)≡0,则有 ≡0。 充分性。因为 )= 欢所有∈(-∞,+∞)均成立。在1+)≡0时和y1n+s)=0的假定条件下,可得 G(t,7u1r7=0 即吗对输出y((t≥t)的影响为零,因此系统在t是松犯的 定理1—1虽然给出了判断t时刻是否松弛的规则,但是在实用中想要从to到+∞来 观测输出仍然是不现实竹。下面的推论将给出判断t松弛的一个实用条件。 推论11若系统的脉冲响应阵G(,T)可以分解成G(,r)=M(tN(x),且Mt中每一个元素 在(-∞,+∞)上是解析的(注1-1),则系统在松弛的一个充分条件是对于某个固定的正数 ,ukn)=0意味着yn1)=0 证明若u1+N)=0,则系统输出y()为 ()=广cr)()x=MN7m(7)r,≥有 h式最后一个积分的结果是与t无关的常向量,故M(t)是解析的假定意味着y(t)在 t,+∞).是解析的,又因为y4+2)=0,解析开拓原理可知yn+≡0。至此我们证明 了un+3)三0隐含y,+8)≡0,由定理1-1可知系统在右是松抛的。 推论1—1的结果之所以重要,是因为对于任何满足推论1—1条件的系统,其松弛性可 以由任何非零时问区间上观测输出来确定。若在该区问内系统的输出为零,则系统在该时刻 是松弛的。以后我们将证明凡可由有理传递函数阵或线性常系数微分方程描述的系统,是满 足推论1-1的条件的。因此推论1—1具有广泛的实用价值。 时不变性先介绍位移算子Q的概念,位移算子Q2的作用效果如图1-5所小。经Q作 用后的输出等于延迟了c秒的输入。 用数学式子可表示为: u(t)=Qu(t) (1-17) 即对任意的t,有 t-a)或u(t+a)=u(t 成立 图1—5位移算子的作月效果 定义14松弛系统称为时不变的,当且仅当对于仟何输入u和仟何实数a,有 HQ u=Q Hu (1-18) 成立。否则称为时变的。 关系式(118的含义是:若输入位移α秒,输出波形除位移a秒之外保持不变。换句 话说,不管在什么时刻把输入加于时不变松驰系统,输出波形总是相同的。对线性松弛系统 若又具有时不变性,这时的脉冲响应函数仅仅取决于加脉冲时刻T和观测时刻t之差,即 Hb(-r)=(t-r,0)←实际上,根据时不变性有 Q。H( HQ26(5-T)=H-{7+)=9(t7+a) 白(a的定义,等式(gtη)=g(t,+a)意味着对于任何的t、r、都有gt,)= g{t+a,r+a)成立。如取a=-就可得 g(,T)=g(t-7,0)Vt,7 为了便起见,今后仍把gt-T,0)记为g(t-r)。这一结论推广到多变量系统就是:对于所 有的t和r有 G(t,)=G(t-T,0)=G(t-7 因而线性、吋不变性,在bo吋刻松驰的因果系统,其输入输出对满足 (t)=G(t-rJu(r)d (119 在时不变的情况下,不失一般性,总可以选零作为初始时刻to;即t=0是开始研究系 统或开始向系统提供输入u的时刻,这时(1-19)式就变成下列卷积积分的形式 ()=G(t-Tu()d7 (1—20) 或 (121) 传递函数阵和它的极点多项式 将(120)式进行拉氏变换,并记 Y(s)=L(y(t)]= y(t) atat 由拉氏变换的卷积定理,可得 Y(s=G(U(s) 式中C(=J(“M是脉冲响应阵的拉氏变换,称为系统的传函数阵 传递函数阵的元素不一定是s的有理函数,但在本教材中历讨论的传递函数阵,其元 素都是5的有理函数,这样的传递函数阵称为有理函数矩阵。今后我们总假定G()的每一 个元都已经是既约形式,即每一个元的分子多项式和分母多项式没有非常数的公因式。推广 绉舆控制原玛中关于传递函数零点和极点的概念,可以定义有理传递函数阵Gs)的零点和 极点。有理函数阵零点和极点的等价定义很多附录A),为了尽可能不涉及多项式矩阵和多 项式矩阵互质的概念,我们这甲采用G(s)的不同子式来定义它的零点和极点。设Gs)是 g×p有理函数阵,且G(s)的秩为r。 定义15Gs)所有不恒为零的各阶子式的首一最小公分母称为G(s)的板点多项式。极点多 项式的专点称为Gs)的板点。 定义16Gs)的所有r阶了式,在其分母取G(s)的极点多项式时,其分了的首最大公 因式称为Gs的零点多项式。零点多项式的零点称为G()的零点。 定义中的“首一”表示一个多项式的最高幂次项的系数为1。定义1-5在第三章中还 要用到。根据定义1-5和定义16,可直接计算G(s)的零点和极点。 例1—3若 +1 G (s+1)(8+2) 1 1s+2 s+2 根据定义15,可以计算出c(s)的一阶子式的公分母为(3+1(3-1)(s+2),而G(s)的三个 二阶子式分别为 2 (s+1(s+2)’(s+1)(s+22’(+1)(s+2) 二阶子式的公分母为(s+1)(s+2)2。因此G(s的极点多项式为一阶子式的公分母和二阶子 式的公分母的最小公倍式,即(s+1)(s-1)(s+2)2,显然Gs)有四个板点,它们分别为-1、 2、-2和+1。另外三个二阶子式在分母取成板点多项式时分别为 1)2 2(s-1(s+2) (+1)(-1(3+2(6+1(6-1)+2)2(8+1)(8-1(8+2 它们分子的最大公因式为(s-1),因此G(s)的零点多项式为(s-1),G有一个零点8=1 注1-1实变量解析函数:f()在(a,b)是解析的,若对于a,b)中任一点t,存在一个c0,使 得对(-2b+-o)中所有t,f()可表示成和处的泰勒级数 f()=∑ (t-to)"(zei fIre(tu) 定理12(解析开拓)若函数∫在D上解析,已知酌数在⑩中任意小的非零区间上恒为零, 则函数在D上恒为零。 证明如果函数f在任意小的非零区间(t)上恒为零,则函数其各价导数在区间(,+)上 恒为零。通过解析开拓,函数∫在⑩上恒为零。 【实例截图】
【核心代码】
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