实例介绍
在高温环境下工作时，会灼伤人体皮肤，甚至引发人体内一系列生理功能的改变，因此人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专业服装的设计不仅要考虑研发成本和研发周期，而且更要考虑穿着者的人身安全。本文通过对高温专用服不同材料的吸热传热过程的研究和分析，建立了偏微分方程模型，三层热防护服和一层空隙的热传导模型以及最优化模型，得到体表温度分布以及在给定条件下每层的最优厚度。
针对问题一，我们假设热传导是沿垂直于复合材料向内侧方向进行的，由此可将问题一维化。再利用热力学中的傅立叶热传导定律、牛顿冷却定律、热量公式，对四层材料可分别建立热传导方程。最后利用有限差分法逐层求解方程组，得到第一层和第四层换热系数的参数估计分别为：113W/(m2·k)和8.34W/(m2·k)。并且利用参数估计值计算出温度分布，生成 Excel 文件。检验忽略热辐射的合理性，考虑辐射传热，可得到系数为：113W/(m2·k)和 8.49W/(m2·k)，表明热辐射对传热过程影响较小可以忽略。
针对问题二，在问题一的基础上，将第二层厚度最小为优化目标，结合题中所给的约束条件60min内，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，超过 44℃时间和厚度范围等，建立厚度调整单变量优化模型。因此可以将问题转换为约束条件临界值求解的问题，最终得到第二层最小厚度为17.5mm，此时最大温度为44.08℃，并且满足题给要求超过 44℃时的时间低于 5min。
针对问题三，同样在问题一的基础上，以第二层和第四层厚度都最小为优化目标，使得研发成本、研发周期最小化，研发效率最大化。考虑到 IV层为空气层，空气的密度和热传导率都相对较小，所以在问题的求解过程中，我们首先使 II 层的厚度最小，同理于问题二的解法，可解得第二层和第四层最优厚度分别为：19.2mm 和 6.4mm。 此时最大温度为 44.8℃，并且满足题给的要求超过 44℃时间为290s不超过5min。
最后对本文所建立模型进行了讨论和分析，综合评价模型，并提出了改进和推广的方向。
【关键词】偏微分方程；傅立叶热传导定律; 牛顿冷却定律；最优化模型
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