《最优控制理论与系统》的习题解答

【实例简介】
老版《最优控制理论与系统》的习题解答，答案很详细，和新版的大部分题型很像，或者题目相同，题目不会做，可以借鉴一下这本答案。
f1(x)f12(x)…f(x) x云 fn1(x)∫mn(x)…∫m( . 定义 oF aF dF() dF(x)aF OF F d x dx 51 PW月 F 其中 ofu(r)a(x) dJH( x x F|。n2(x)Of2(x) 2 x afm(r)af 2(x 注:(U)一殷 dF(x dF(r) dx dr (2)2中性质(1)、性质(2)仍适用但性质(3)般不成立。 1.1.3对矩阵变量的导数 设∫=∫(X)为数量函数,X为n×m矩阵,则 12 df(X) df af af af(x dX 21 22 2n 2 性质:设∫(X)、g(X)为数量函数,X为矩阵变量,则 d [f(±g(X df(x), dg(x) dX dx f(x (X)=(A为常数) dX dx dougla=df( p2 &(X)+r()dg(x 2.设z(X)为l维向量函数,X为nXm变量矩阵,则有 az 12 az z d z(x) z dix) or dx 22 2 az az 3.设F(X)为l×p矩阵,X为n×m矩阵变量,定义 aFaF ax a oF aF oF dF(X OF(X dX 22 x2 afaF aF 其中 12 dF(x d2122 d fn如fn 中 ar. ax x 1.1.4复合函数的导数 L.设∫=f(x,x=x((∫为数量函数,x为向量为数量变量),则 d∫dfdx dt dx dt 2.设∫=∫(yy=y(x)则 df ddf df df dy dx dx dy x dy' dx 3.设z=z(yy=y),则 dzdz d d t dy dt y 4.设乙=乙(y)y=y(x)则 d z dz dy dz dy dz dx dy dx dx dx 5设z=z(x,y)y=y(x)则 dz azaz d y dz az dy'az 十 dx ax ay dx dx 8x dx a 1.1.5数极值 函数的无条件极值 n元函数∫(x,其中x=(x1x2…x)在x点取得极小值的先要条件为 of af f 0 f(x A>0 dx l ax, x dx 其中 ax ax x af or f xx ax. 为∫(x)在x处的二阶偏导数矩阵,称为海赛( Hessian)矩阵,大于零表明为正定矩阵。 同理,若A为负定矩阵,则函数有极大值 2.拉格朗日乘子法 设连续可微的标量函数为J=∫(x,n),约束条件为g(x,n)=0,其中 x=1X1,x, x g(x=[(x,)s(x,n)…8n(x,叫)] 求使标量函数J为最小的控制向量u。 先设拉格朗日函数 L(r, 4, )=f(x, u)+a gr, u) 其中元=(1λ2…n)称为救格朗日乘子,则取得最小值的充分条件为 f+2=0 L如+g2=0 L.=g(x,=0 0 其中 g x gr dL OL ox r drdy cuda au' 3.库恩塔克尔( Kuhn-Tucker)定理 设函数∫(x续可徹,在连续可微的不等式 g(x)≤0,i=1,2, 约束下,∫(x)在x=X°处取得极小值的必要条件为 (1)λ≥0,8(x")≤0 (2)xg(x")=0 L(x,4) x 其中A 2 8)-[s(x)g(x)…g,(对 (x,x)=∫(x)+xg(x) 1.1.6二次型的正(负)定性 1.定义 设A为二次型xAx的m×n实对称矩阵(或为蒜米特矩阵,下): 若当x≠0时,xAx>0,仅当x=0时,xAx=0,则称xTAx正定,A为正定 矩阵 若当x≠0时,x2Ax≥0,当x=0时,xAx=0,则称xTAx正半定,A为正半 定矩阵。 若当x≠0时,xAx<0,仅当x=0时,xAx=0,则称xx负定,A为负 定矩阵。 半定矩,兴0时,xAx≤0,当x=0时,xFAx=0,则称xAx负半定,A为负 若当 若xAx可能为正或负,则称x1Ax不定,A为不定矩阵。 另外,当A的所有特征值为正数时,实对称矩阵A为正定矩阵,若A的所有特征值为 非负,且至少有一特征值为零,則矩阵A为主半定矩阵。 2西尔威斯特( Sylvester)准则 二次型xAx正(负)定性的充分必要条件: (1)正定:x×n实对称矩阵A的行列式为正,A的行列式的顺序主子式(A左上角 的行列式〕为正,即 >0 >0 0 >0 2 则xAx正定,A为正定矩阵。 (2)负定:当n为偶数时,A的行列式为正的,n为奇数时,A的行列式为负,并且 偶阶顺序主子式为正,奇阶顺序主子式为负,即 12 13 12 A>0(m为偶数) 41 23 <0 22 A<0{为奇数) 33 则xAx负定,A为负定矩阵。 (3)正半定:设A为奇异矩阵,且所有主子式为非负的,即 ≥0 ≥0 ≥0 = 其中ⅸ<j<k,则xAx为正半定,A为正半定矩阵 4)负半定:设A为奇异矩阵,并且所有偶阶主子式为非负的,所有奇阶主子式为非 正的,即 ≤0 0, ≤0 其中<j<k,则x1Ax负半定,A为负半定矩阵 2题目 21例题题目 A-1-1将标量函数∫=x+4x2x3+2x1x2+2x2+2x2x3+6x写成xAx形式, 并求df/d A-1-2试证明 A dx 7 其中,x为n维列向量,A为mxn常数矩阵。 A-1-3求xAx对x的导数,其中,x为n维列向量,A为nxn对称常数矩阵 d d(aAx),其中,x为n维列向量,为n维常数列向量,A为x×n A-1-4求 常数矩阵。 A1-5求向量函数F=sin(a2x)x对x的导数。 A-1-6求向量函数F=cos(xAx)·x对x的导数。 A-17对于标量函数 H(r, u, d)=xOr+uRu+A(A+bu 试求:HOb 。其中,x和λ均为n维列向量,为m维列向量,A、B、Q ix ou a2 和R均为适当维数的常数矩阵。 A-1-8已知标量函数H[x(,(l),"(D),t,试求dH!dt,其中,x()、t(t)、 λ()均为适当维数的列向量,为实变量 A1-9求标量函数∫=(x-a-B)(x-a-Bz2)对x、z的导数,其中x、a分 别为n维变量和常数向量,z为m维列向量,B为n×m常数矩阵。 A-1-10试推证 TrAY=A.8 TrX=2XT aX aX race 均为矩阵 A-1-1设∫(x,ω2,n,…,∫(x,)是连续可徽函数, ∫=[1…f 为函效向量,试写出f∫(x,B)的一阶台劳展开式。 A-1-12试求内接于椭圆、周长最大的矩形,即在约束 条件下,使S=4(x+y)取最大值 A-1-13试求给定椭圆内长方体的最大体积,即在约束 条件下,求卩=8xyz的最大值 A-1-14试求函数∫(x)=4-x2-x2在约束g(x)=1-x2+x2=0下的相对 极大值和极小值。 A-1-15求函数∫(X)=x1+x2在不等式约束 (x1-4)2+x2≤4 (x1-1)2+x2≤4 条件下,∫(x)取最小值。 A-1-16试写出在不等式g(X)≤0约束下,∫(x)取极大的一阶必要条件,并以 A1-15题为例,求f(x)的最大值 A-1-17试写出在不等式g(x)≥0约束条件下,∫(κ)极小的-阶必要条件。 A-1-18应用拉格朗日乘子法求二次型函数 (x,")=xgx+ A Ru 在线性方程约束 ∫(x,4=Ax+Bn+c=0 条件下,J(x叫的极小点聊,并证明满足必要条件的点是极小值点。其中A为n×n非异 矩阵,B为n×m矩阵R、Q分别为mXm、nXn正定对称常数炬阵,"、x和c分别 为m维、n维向量和η维常数向量 A-1-19检验下面矩阵A是否正半定: 」2 A=242 1.22习题题目 B-1-t求数量函数∫=(Ax-b)R(Ax-b对向量x的导数 B-1-2求数量函数∫=(Bz-x)R(Bz-x)对矩阵R的导数(R是对称的) 8-1-3已知x=Ax,证明 d Bx)=2x BAr d t 其中,B=B,但A≠A B-1-4求数量函数∫=(Ax-b)R(Ax-b)对向量b的导数。 B-1-5已知A为n×m变元矩阵,B为m×n常数矩阵,试证 atTAB dTrA aAtb aTBAT A da dA dA 其中Tr为迹(Tace)符号 B1-6先将函数∫=-3x2+2x1x2+2x1x1-2x2+4x2x3写成∫=xAx的形 式,然后判断其是否为负定, B-1-7试确定(x)=-x2+4x2+x3+2x1x2一6x2x-2x1x3是否为负定。 B-1-8设多元函数为f(a)=22+5n2+an2+22+231-62+3,求f(an) 的极值点及极小值。 B-1-9试求函数∫=x2+4y2在约束x/3+y=1条件下的极小值。 B-1-10求病足约束条件g(x,)=c-x=0,使函数 E f 最小的∫值。其中x、均为标量,a、b、c均为正的常数 B-1-11检验下列3×3矩阵A是否为亚定: 22-1 A=260 1.3题解 1.3.1例题题解 A-1-1 解;∫=XAx,其中 A=121 x 所以dd =T(x' Ax)=Ax+Ax=2Ax=2 4 2 x dx dx 4212 A-1-2 证明:令A=(a1a2…an),其中a为n维行向量,则 Ax=lanz amIx=a,r a2r d(ax)dar dapr da x 所以 dx dx dx dx 对于d(ax) d(ax) d·有Ar=a,I,其中为单位矩阵。所以 d(ax) a,【a2,I =A dx 解: d(x"Ax)d(x)td(xAx dx Ax+Ax)=x(A+A' 10 【实例截图】
【核心代码】