矩阵分析课后答案，作者魏丰，史荣昌

【实例简介】
矩阵分析的课后答案书，很有用，很详细 作者魏丰，史荣昌
前言 本书是作者编著的敦材《矩阵分析》一书的学习辅导书,书中 给出了教材中所有习题详细的解答,其目的在于带助淒者学习矩 阵理论、掌握解题的方法、提高解题的技巧。 本书由相应章节内容的基本要求、典型例题、习题、自测题习 题与自测题解答五部分组成。基本要求部分是从需要读者掌握的 解题方法的角度而编写的,篇幡很小;习题是《矩阵分析》教材中每 章后的习题,为了使读者可以抛立使用本书,书中抄录了教材中 的全部习题;自测题部分是希望读者阅读完例题、习题以后,检查 个人是否掌握了基本解题方法而选编的,其解答相对比较简单。 为便于读者自学,在掮写例题、习题解答时做到简单明了,不 累發,但是叙述又不能过于精炼省略,力求做到阅读时易懂、易 理解。 考虑到不同类型、不同层次读者的需要,例题、习题的编写既 有简单舶基础题,又有理科的难题,对于一些有难度的题,我们 标有*号。读者可根据个人悄况进行选择,不必全部阅读。 书中个别例题、习题有多种解法但没有把多种解法作为本书 的要求本书介绍的解题方法并不一定是最好的方法,读者完全可 能会找到更好的解题方法。 由于时间仓促,书中难免存在钠漏之处,敬请读者批评指正。 编著者 2005年6月 目录 第一章战性空间和线性变换… 4@冒■■唱■■ 一、基本妥求…………………""……(1) 、典型例题 习题…;…r…"……………(45) 四、自测趣 ……-…………(48) 算二章λ-矩阵与矩阵的 Jordan标准形………(51 、基本要求……………………………………(51) 二、典型例题 …(5l 三、习题………… a口pap·c●pd■咖 ……(65 四、自测题………… 〔67 第三章内积空、正规矩阵、Her"te矩阵…………(69) 、基本要求 ………………(69} 、典型例题 ··●咖■省自口自自·晶·咖山血血·鲁幽咖·血■血鲁看鲁鲁·白自b音咖音ψ自咱▲■“十 (69 习题 幽“+(94) 四、自测题………………………*………498) 第四章矩分解 (100 、基本要求… ……(100 典型例 …“4(100) 三、习题… (117) 四、自测题………………………………"(118) 第五章向量与矩阵范数… (120〕 基本要求 ▲山啬『■▲山血■晶啬■杳■■■■口■■号pp鲁p■画■■■■品■■■日 (120) 典型例题 冒■『■_d■■瞢P早晶■■』品晶↓ …·(120) 习题 ………-……→(134) 四、自测题 (135) 算大拿矩阵函效……………….(138) 、基本要求 r…**……"(138) 典型例题 争昏旱甲中即中暴_t·●导中咖 (38 习题 中·■自●『P■ 〔170) 四、自测题… (l72 第七章画矩阵与矩阵囊分方程 (174) 基本要求 ψ一··中命日罪司即卓自↓4 …(:74) 、典型例越 画山■ 鲁鲁b■冒冒冒·■暑山·■画 〔174) 习题………""…….(183) 第八章矩阵的广义觉 骨■■啬杳b■■昏晕d桑白矗■υ曾聊■d山b备▲ (185) 基本要求 早■壘止山山P (185 二、典型例题…………………………(185) 、习题 (195) 习题与食测题解答… 鲁中口·看看聊看↓白即器■冒中晶自日自自 (197) 主要参考文献 (283) 第一章线性空间和线性变换 基本要求 (1)充分理解抽象线性空间的概念,半握向量的线性表出、线 性相关线性无关的判断与性质 2)掌握线性空问的基、维数、坐标的定义与求法;掌握基变 换与坐标变换 (3)理解线性子空间的概念,重点掌握齐次线性方程组的解 空间与生成子空间,理解线性子空问的交与和以及维数公式,了解 子空间的直和与补子空间 (4)掌握线性映射(变换〕的概念,线性驶射〔变换的矩阵表 示以及一个线性变换在不同基下矩阵之间的关系 〔5}会求线性映射的核与值域,理解秩与零度定理 6)理解线性变换不变子空间的定义与性质 (7)会求矩阵(线性变换)的特征值与特征向量理解矩阵(线 性变换)的特征值与特征向量的性质 8)掌攪矩阵可对角化的条件,理解矩阵簇同时可对角化的 含义 典型例题 试证:所有n阶对称矩阵组成 n(n+1 维线性空间 所有n阶反对称矩阵组成 维线性空间 证明:用E表示n阶矩阵中除第i行,第i列的元素为1外, 其余元素全为0的矩阵·用赵<=1,2,…-1)表示η阶 矩阵中除第行第j列元素与第j行第列元素为1外,其于元意 全为0的矩阵 显然EE都是对称矩阵,E有n个,E,有(=1) 2个·不难 证明En,E是线性无关的,且任何一个对称矩阵都可用这n+ n(m1)=2x(n+1)个矩阵线性表示此即对称矩降组成(n+1) 维线性空间 同样可证所有n阶反对称矩阵组成的线性空间的维数为 评注;欲证一个集合在加法与数乘两种运算下是一个 (n+1 2维线性空间,只需找出_2个向量线性无关,并且集 合中任何一个向量都可用这 n(n+1) 个向量线性表示即可 例2设非齐次线性方程组Ax=b有解,其通解表达式为 5+ka1十是22+…十k 其中k1,k2…,矩为任意数,试证:向量组,十a1;4十2;…, +an,是方程组AX=b所有解的极大线性无关组,但是AX=b 的所有解集合不构成线性空间 证晹:首先证明十α1,+a2,…,十以,线性无关·设 l会十l1(a1+)十…·+Ln,(6十a2-}=0 即 f+l1十 ln-)日+lα1+…+L 0① 用矩阵A左乘上式两端,并根据Aar=0,A=b可得 (l。+【+*+ln.,为b 因b≠0所以 ta+41+ 将②式代入①式得 l1a1+l3a2+…,+L 2 由于G1,a2,…a,-是AX=0的基础解系所以叫,2 线 性无关故 0 代入②式可得l0=0,所以,+十az;…,+an线性无关 设B为AX=b的某一个解,则 8=+k(+a:)+k2(+2)+“+k,(+a,- k,一)月十k1(十日} kn一(+∝1- 这表明β可由,+a1;+2…十以-线性表示,因此, a,F+a2…,+an-是AX=b解集合的极大线性无关组 由于AX=b的解之和,解的常数倍都不是AX=b的解,这说 明AX=b的解集合对加法与数乘不封闭,所以它不是线性空 评注:本题按照定义证明并不困难,本题结论说明…个无穷 多个向量集合可以有极大线性无关组,但此集合并不一定构成线 性空阃.线性空间的基一定是极大线性无关组,但一个极大线性 无关组(即使是无穷多个向量集合)并不一定是基 例1.3判断实数域R上的线性空间R中的下列函数是 否线性无关? (1)e,e,…,e4,其中A1,k2…,λ是互不相同的实数; (2)x,x2,…,rw,其中a1,a2,…,a是互不相同的实数; (3)1,cos], cos 2r,cos 3rt (4)sin'r, cos x,sinT,cosr 解:(1)设k1e十k2e十…十k,=0,对此式两端求n阶 导数可得 k1凡2e+k242e2+…十k减e=0 k1e2+k2ey+…十kn足e=0 是1e+是2eh+…十kke∵=0 3 将上式中的x以数1代替得到一个关于k,k2,…的齐次线性 方程组 匙141e'+k22 k1e'+k2eh+…“+k,e=0 k12e+是2e1++he=0 由于其系数矩阵 e Aiet de de e dMe. 为可逆矩阵,所以 k;=是 点。=0 这明e,e,…,e是线性无关的 2)设k1x1十A2x十…十knx=0,将此式中的x分别以不同 的值1,2,22,…,2”代人得到一个关于k1,k2“,的齐次线性 方程组 k1·1^1+ + k1·2 k2·2()++k。·2 解此方程组得到k=k2=…三k,=0,从而x吗,x",…,x·是线性无 关的 3)设k·l+kOsx+kqs2x+k3Cos3x=0,将此式中的 x分别取不同的值0,r,代入得到一个关于k,k,k2,k,的齐 次线性方程组 k。·1+k·1 十k2·1 ·1+k·0+k2· 1)=0 最·1十k:·(-1)+k21 十两3·(“1}=0 k·1十k 十k?·( )十反3·(一1)=0 解得k=k1=k2=k3=0,于是1,cOsx,co52x,cos3r是线性无 关的 4)由关系式sin2r+cosx=1,哥得(sin2x+cos2x)2= s】了x十cDsx如 这样有 sinr+cosr+2sin'rcos'r= sinr +cos' sinr+ cos+r+ 2(1-cos')cosr CO5 整理可得sinx-cs4x=sin?x-cos2x,这表明sin'xr,Cosx,sin2xr, cs2x是线性相关的 并例14已知全体正实效集合R-关于如下定义的加法与 数量乘法构成线性空间 ab;=如,a,∈R =a,a∈R,k∈R 试求此线性空间的一个基与维数 解:首先注意到R+中的单位元为1任取r∈R+,且r≠0.设 k·a:=1,那么a*=1,于是k=0.再任取s∈R+,设s=l·r:= 可得=lgs.这麦明R+中任何一个非零数都可以作为R+的基, 从而其维数为1 例_.5在R2x2中求矩阵 2 A 03 在基F_/7 I O E 下的坐 10. 标 【实例截图】
【核心代码】