微分几何彭家贵前五章完整答案.pdf

【实例简介】
微分几何彭家贵答案，是前5章所有题目的答案，百度文库上的只有部分答案，而我这个是所有题目的答案
4.设{O,1,E2,E3}是一个正交标架,σ是{1,2,3}的一个置换,证明 (1){O:a(),r(2:er(3)}是一个正交标架; (2){O;e1,e2,e}与{O,ea(1),fo(2),a(3)}定向相同当且仅当是偶置换 证明: (1)由于{O;e1,C2,e3}是正交标架,当i≠j时,0(1)≠0(1)故{e(),°()}= 0当t=1时,(1)=0()故(em(1),en()=1.因此,{O;em(1)e(2),En(3)}是一 个正交标架 (2){O:e1,e2,e3}与{O;e(1),e(2),a(3)}定向相同1=(ea(1,ea(2,(3)= (-1)兮o是偶数兮σ是偶置换,其中|a|是置换σ的长度 5.设T是E的一个合同变换,ⅴ和w是E的两个向量,求(Tv)∧(Tw) 与T(v∧w)的关系 解:设T:X→YT P是E3的一个合同变换,其中T是一个正交矩阵 記T 则有 i j k (i j kT (TV)A(Tw) )T T|=(A1 A2 As)bIT=(A1 A2 As)[j Iy yy k i k TT=TT(vA 丁 其中A1=x2y3-x3y2,A2=-x1y3 x3y2,A3=x1y2-x2y1.因此 (Tv)∧(Tw)=TT(vAw) www.docin.com 习题二 1,求下列曲线的弧长与曲率 (1)y=ar (2)2 =1 (3)r(t=(acosht, bsinht(tE R); (4)r(t)=(t, a cosh)(a>0)(t∈限) 解:(应用习题2 (1)显然,曲线有参数表达式r(t)=(t,at2)(t∈巩)直接计算,有 r(t)=(1,2at),r"(t)=(0,2a),r'(t)=√1 4a22 因此,弧长(作为t的函数)为(注意a≠0.) r(u)d=/√1 4n2nh=3v1 4n22 nlog2t 1 4a2 「上述积分的计算 令tan=2a4,则√1 4a12=8ec6.从而,∫√1 4a22=aJed sec 0d6-/(sec8 tan20 sec 0)de-/tan 6d sec 0) sec ede -tan 0 sec 6- sec 0d0 / sec 0de-tan 0 sec 8-I log sec 0 tan 0f a( tan 0 sec 0 log I sec @ tan 0)) C=0(2aJuv1 4a2u2 log ( alu V1 4a2u21) C 因此 1 4022u=1 4a2u2 4 a log2a √1 42n21 C 由习题2,曲率 l goin. com ((t)2 y(t)2)2(1 4a2t2) 2)(可以设a>0且b>0.)椭圆曲线(去掉点(a,0)的参数表达式为 r(t)=(acos t, bsin ()(0<t<2T) 直接计算,有 ( t, b cost), r(t)=(-acos t, -b sin t 弧长为 √a2sin2t b2cos2adn= t a=b 第一类椭圆积分,a≠b 曲率 (t)=x2(10)-xy(( ab (x()2 y(12)号(a2sin21 b2cos2t)号 (3)直接计算,有 r(t)=(asinh t, b cosht), r"(t)=(acosh t, b sinh t 弧长 a2 sinh'u b2 cosh' udu 曲率 (ty(t)-x"(t)y/( (x(t)2 y/(t)2 (a sight b2cosh2t)2 (4)直接计算,有 ()=(1,sinh (t)=(0, -cosh 弧长 1 sinh -du=/ cosh -de= a sinh 曲率 k(t)=x(t)y()-x"(t(t) Cosh t ()2 y()2)2a(1 snh2)是 2.设曲线r(t)=(x(t),y(),证明它的曲率是 (t)y"(t)-x"(t)y( (x()2 y(t)2) 证明:首先 豆丁 r'(t)=(x(t),y(t),r"(t) 设§是曲线r(t)的弧长参数,则s=s(t)与t=t(s)互为反画数 dt ir(t)=v(t)2 y(t),dt ds dsr(t) va(t)2 y(t)2 2 dt dt t)x"(t) (t)y/(t) ds2 dt ds 'ds om 由于平面曲线的 Frenet标架和曲率与(同向的容许)参数选择无关,故 t(t):=t((1) drit) dt dt ds vr(t)2 (t 2va(t)2 y(t) 从而 d-t r(t) )(x'(t)y/"(t)-a"(t)y(1)x'(t)(a2(ty"(t) (x(t)}2 y(t}2)2 a(t}2 y(t)2)2 n(t):=n(s(t)=( /(12 W(2=(2 (02 所以, (t)=h(s(t)=(t(s(t),n(s(t) (t)y"(t)-x"(t)y/(t) (2()2 y()2)号 注:任意参数曲线r(t)的enet标架为{r():t(t),n(t)},其中 t(t) v2(t)2 y'(t)2'va(()2 v(2l, n()=r(t)=(√(2 (√r(2 y(2 3.设曲线C在极坐标(r,)下的表示为r=f(),证明C的曲率是 ()=(0 2-(0 证明:曲线C有参数表示式r{0)=(f()cos6,f(0)sin0),直接计算、有 r(0)=(f(0)cos e-f(e)sin 0, f(0)sin 0 f(0)cos 0), r"(0)=("(0)cos 0-2f(0)sin 0-f(e)cos 0, f"()sin 0 2f(0)cos 0-f(0)sin 0) 由习题2,有 (210)2 m(012÷(0) 26)2-(6ye k(6)x'(0)y"(6)-x"(6)y() (尸2() (f(0)2)2 (1 r(t)=(acosh t, a sinh t, bt)(a >0); (2)r(t)=(3t-t2,3t2,3t t2) (3)r(t)=(a(1-sint),a(1-cost),b)(a>0) ()r(t)=(at, v2a t, ?)(a> 0) 豆丁 解:(应用习题5.) (1)直接计算,得 r(t)=(a sinh t, a cosh t, b), r"(t)=(a cosht, asinht, 0), (t)=(asinht,a 从而, u门.COm Ve COS shit b2 (t)Ar(t)=(ab sinh t, ab cosh, -a2 r(Ar(tl=avb2cosh 2t a (t),r"(),r"(t)={r'()∧r"(t),r"(t) 故曲率 x(t)=r(Ar"(I- av cosh 2t a2 r(t)3 (a2 cosh 2t b2)2 挠率 r'(t),r"(t),r"(t) r(C)Ar(t)2 b2 cosh 2t a2 (2)直接计算,得 ()=(3-2,6t,3 2) 从而 (1)=√2(412 18t 9), (t)^r"(t)=(-18.-12,18) r(t)Ar"(t)|=6√2 f),r"(t),r"(t))=0. 故曲率 r(t)Ar"(t 3√11 (4t2 18 9 挠率 (r'(t),r"(),r"(t) r(t)Ar/( (3)直接计算,得 r(t)=(-acost, a sin t, b) r"(t)=(aint, a cos t, O (t)=(acost, -aint, 0) 从而 b2 r(t)Ar(t)=(-ab cos t, ab sint, -a), (t)Ar(t) 妒2 (t,r"(t),r"(t)=(r'(t)Ar"(t),r"(t) b 丁 故曲率 C (t)= r(t)Ar"(t川aVa2 b2 挠率 (t),r"(t),r )^r"(t) se -Gee u com (4)(注意到t∈(0, ∞).直接计算,得 √2aa a 2a 2V2a 6a 从而 a(t2 1) ,-2-2 y (t)Ar(t) √2a2(t2 1) r(t),r"(t),r"(t)={r'(t)Ar(,r"(t) 故曲率 r(t)^r"《t川_√2t (t2 1)2 挠率 2 2t2 7(t) 1r()Ar()2= (t2 1) 5.证明:E3中的正则曲线r(t)的曲率和挠率分别是 .(t)Ar"(t (1)i r(t),r"(t),r"(t) ()Ar"(t)2 证明:设。是曲线r(t)的弧长参数,则s=s(t)与t=ts)互为反画数,由于空 间曲线的 Frenet标架和曲率与(容许的)参数选取无关,故 t(t);=t(s(t)= dr(t(s)) dt. dt d ds’ds|r(t) t(s()=r"(()2 s r() ds2;n((t)= (s(t) t(s(t)) 丁 b(s(t)=t(s(t))An(s(t)) (5(t) t(s(t)∧t(s(t) dt dt (t)yA(r"(t)(-)2 r( ds 1, dt or(t)Ar(t) com (s(t) 从而,曲率 k(t)=K()=()3r(t)Ar"t '(tAr"(t) 3 由于t()=h(s)n(s),故 t(s)=(s)n(s) k(s)n(s)=k(s)n(s) K(s)(-(s)t(s) (s)b(s) 2(s) (s)n(s) k(s)r(s)b(s) 从而 k(s(t))(8())=(t(s(t)), b(s(t))) r"(2)(3 3r"(t dt d2t dt 1 ds ds2 r( dsr(s(t) t(s(t))At(s(o)) k(s(t)ds 因此 6 r 注:任意参数曲线r(t)的 Frenet标架为{r(t);t().n(),b(t)},其中 t(t) r(t y2 x /x2 y2 b(t) r(t)Ar(t) (Ar(OI 6.证明:曲线 rIS 以5为弧长参数,并求它的曲率、挠率和 Frenet标架 证明:由于 1 (-1<5<1) r(S√中 与 =1故是狐长参数,从而 tis 丁 (1 (1-8) 4 故曲率()=1(9)=y 2(1-s2) 从而 {1-s 2(1 1(s)=t 2(1 8) com 2(1 2(1 s)- 4 b(s)=t(s)A (1 s)5(1 挠率 7(8)=(n(sb(8)(=-(b(s),n(8)v21-s2) 最后,曲线r(s)的 Frenet标架为{r($);t(s),n(s),b(s)},其中t,n,b如上 7.设曲线 t,0),t≤0; r(t)=(0,0.0),t=0; (1)证明:r(t)是一条正则曲线,且在t=0处曲率h=0 (2)求r(1)(t≠0)时的 Frenet标架,并讨论t→0时, Frenet标架的极限 解:()首先注意到对任意正整数k,(-)=eb,其中m是正整 数,B(U)是关于t的一个多顼式,这由归纳法容易得到 当t<0时 4 r(1)=(3e2,1,0),r()=(1 E) r(=(-62 43,0,0),r()Ar”()=园62-4。含) r()=( 4e,0,0)(k≥2) 由上知,r(t)(<0)是光滑的且r(t≠0,即是正则的 曲线在t=0处的第k阶左导数为(k≥0) r(6)(0-)=limr((t) k≠1: (0,1,0),k=1 类似地,当t>0时, r(1)=(0,1,c2),r(t)=(14- r"()=(00=),r()Ar"()= 6t2 4 丁 r(t)=(00me)(k≥2) 故r(t)(t>0)是正则的 曲线在t=0处的第k阶右导数为(k≥0,r0=r) com r()(0 )=imr → 0 (0,1,0),k=1 因此,曲线在t=0处也是正则的.综上,曲线r(t)(t∈R)是正则的.从而,其 曲率(定义在R上)是光滑的 由习题5,曲线r(t)(t≠0)的曲率为 k(t) r'(t)Ar”( 62-4|e r(t)3 (1 c)3 而(t)在R上是光滑的;特别地,在t=0处是连续的.故有 A(0)=lim E(t)=lim 6t2-4e t→0 106(1 e-2 【实例截图】
【核心代码】