机器人轨迹规划Trajectory planning for automatic machines and robots

【实例简介】机器人轨迹规划Trajectory planning for automatic machines and robots

机器人轨迹规划专业书籍，包含基础样条曲线轨迹规划、b样条轨迹规划，点到点轨迹规划，多点轨迹规划方法原理详细介绍

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【核心代码】

Contents
1 Trajectory Planning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 A General Overview on Trajectory Planning . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 One-dimensional Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Mechanical Cams and Electronic Cams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Multi-dimensional Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Contents and Structure of this Book . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Part I Basic Motion Profiles
2 Analytic Expressions of Elementary Trajectories . . . . . . . . . . . 15
2.1 Polynomial Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1 Linear trajectory (constant velocity) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Parabolic trajectory (constant acceleration). . . . . . . . . . . 18
2.1.3 Trajectory with asymmetric constant acceleration . . . . . 21
2.1.4 Cubic trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.5 Polynomial of degree five . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.6 Polynomial of degree seven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.7 Polynomials of higher degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Trigonometric Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Harmonic trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Cycloidal trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 Elliptic trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Exponential Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4 Trajectories Based on the Fourier Series Expansion . . . . . . . . . . 51
2.4.1 Gutman 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4.2 Freudenstein 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4.3 Freudenstein 1-3-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
X Contents
3 Composition of Elementary Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 Linear Trajectory with Circular Blends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Linear Trajectory with Parabolic Blends (Trapezoidal) . . . . . . . 62
3.2.1 Trajectory with preassigned acceleration . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 Trajectory with preassigned acceleration and velocity . . 65
3.2.3 Synchronization of several trapezoidal trajectories . . . . . 66
3.2.4 Trajectory through a sequence of points . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.5 Displacement time of a trapezoidal trajectory . . . . . . . . . 69
3.2.6 Trajectory with assigned durations T and T a . . . . . . . . . . 69
3.2.7 Trajectory with non-null initial and final velocities. . . . . 70
3.3 Linear Trajectory with Polynomial Blends . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 Trajectory with Double S Velocity Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1 Computation of the trajectory for q 1 > q 0 . . . . . . . . . . . . 88
3.4.2 Computation of the trajectory for q 1 < q 0 . . . . . . . . . . . . 90
3.4.3 Double S with null initial and final velocities . . . . . . . . . . 90
3.4.4 On-line computation of the double S trajectory . . . . . . . 93
3.4.5 Displacement time of a double S trajectory . . . . . . . . . . . 101
3.4.6 Double S trajectory with assigned duration of the
different phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.5 Fifteen Segments Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.6 Piecewise Polynomial Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.7 Modified Trapezoidal Trajectory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.8 Modified Sinusoidal Trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.9 Modified Cycloidal Trajectory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.10 Constant Velocity/Acceleration Trajectories with Cycloidal
or Harmonic Blends. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.10.1 Constraints on the velocity profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.10.2 Constraints on the acceleration profile . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.10.3 Minimum-time trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.11 Trajectories with Constant Acceleration and Cycloidal/Cubic
Blends . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4 Multipoint Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.1 Interpolation by Polynomial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Orthogonal Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.3 Trigonometric Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.4 Cubic Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.4.1 Computation of the coefficients for assigned initial
and final velocities. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4.2 Periodic cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.4.3 Cubic splines with assigned initial and final velocities:
computation based on the accelerations . . . . . . . . . . . . . . 175
4.4.4 Cubic splines with assigned initial and final velocities
and accelerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.5 Smoothing cubic splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Contents XI
4.4.6 Choice of the time instants and optimization of cubic
splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5 B-spline Functions for Trajectories with High Degree of
Continuity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.6 Nonlinear Filters for Optimal Trajectory Planning . . . . . . . . . . 208
4.6.1 Online trajectory planner with velocity, acceleration
and jerk constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.6.2 Online trajectory planner with velocity and
acceleration constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Part II Elaboration and Analysis of Trajectories
5 Operations on Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.1 Geometric Modification of a Trajectory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
5.2 Scaling in Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.2.1 Kinematic scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.2.2 Dynamic Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
5.3 Synchronization of Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6 Trajectories and Actuators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1 Trajectories and Electric Motors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.1.1 Trajectories and choice of the actuator . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.2 Characteristics of the Motion Profiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.2.1 Comparison between trapezoidal and double S
trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
7 Dynamic Analysis of Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.1 Models for Analysis of Vibrations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7.1.1 Linear model with one degree of freedom . . . . . . . . . . . . . 266
7.1.2 Linear model with n degrees of freedom . . . . . . . . . . . . . . 267
7.1.3 Nonlinear model with one degree of freedom . . . . . . . . . . 269
7.1.4 Nonlinear model with n degrees of freedom . . . . . . . . . . . 270
7.2 Analysis of the Trajectories in the Time Domain . . . . . . . . . . . . 271
7.3 Analysis of the Trajectories in the Frequency Domain . . . . . . . . 285
7.3.1 Frequency spectrum of some elementary trajectories . . . 287
7.3.2 Numerical computation of the frequency spectrum of
generic trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.3.3 Harmonic content of periodic trajectories . . . . . . . . . . . . . 299
7.3.4 Scaling and frequency properties of a trajectory . . . . . . . 303
7.4 Frequency Modifications of Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.4.1 Polydyne and splinedyne functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
7.4.2 Input filtering and shaping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.4.3 Feedforward based on the inversion of the plant
dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
XII Contents
Part III Trajectories in the Operational Space
8 Multidimensional Trajectories and Geometric Path
Planning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.1.1 Continuity of the geometric path and continuity of the
trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.1.2 Global and local interpolation/approximation . . . . . . . . . 346
8.2 Orientation of the Tool. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.2.1 Case of independent position and orientation . . . . . . . . . 347
8.2.2 Case of position and orientation coupled . . . . . . . . . . . . . 353
8.3 Definition of the Geometric Path Through Motion Primitives . 356
8.4 Global Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.4.1 Definition of the set {¯ u k }. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
8.4.2 Cubic B-spline interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.5 Global Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
8.5.1 Knots choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.6 A Mixed Interpolation/Approximation Technique. . . . . . . . . . . . 368
8.7 Smoothing Cubic B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.7.1 Smoothing B-splines with assigned start/end points
and directions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
8.8 B-spline Functions for Trajectories with High Degree of
Continuity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.9 Use of Nurbs for Trajectory Generation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
8.10 Local Interpolation with B´ ezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
8.10.1 Computation of the tangent and curvature vectors . . . . . 394
8.10.2 Cubic B´ ezier curves interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
8.10.3 Quintic B´ ezier curves interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8.11 Linear Interpolation with Polynomial Blends . . . . . . . . . . . . . . . . 406
9 From Geometric Paths to Trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
9.2 Constant Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
9.3 Generic Motion Law . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
9.4 Constant Feed Rate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
9.5 Generic Feed Rate Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.6 Integration of Geometric Path and Motion Law for Complex
3D Tasks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
9.6.1 Linear trajectory with polynomial blends . . . . . . . . . . . . . 429
9.6.2 B-spline trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
9.6.3 Smoothing B-spline trajectory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
9.6.4 B-spline approximation of a trajectory based on
motion primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Contents XIII
Part IV Appendices
A Numerical Issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
A.1 Parameters of normalized polynomials q N (τ) . . . . . . . . . . . . . . . . 457
A.2 Parameters of the Trajectory ‘4-3-4’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
A.3 Solution of the Equation M k = q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
A.4 Efficient Evaluation of Polynomial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . 463
A.5 Numerical Solution of Tridiagonal Systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
A.5.1 Tridiagonal systems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
A.5.2 Cyclic tridiagonal systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
B B-spline, Nurbs and B´ ezier curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
B.1 B-spline Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
B.1.1 B-spline basis functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
B.1.2 Definition and properties of B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . 471
B.1.3 Evaluation of a B-spline curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
B.1.4 Derivative of a B-spline curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
B.1.5 Conversion from B-form to Piecewise Polynomial form
(pp-form) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
B.2 Definition and Properties of Nurbs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
B.3 Definition and Properties of B´ ezier Curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
B.3.1 Evaluation of a B´ ezier curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
B.3.2 Derivatives of a B´ ezier curve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
C Representation of the Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
C.1 Rotation Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
C.1.1 Elementary rotation matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
C.2 Angle-Axis Representation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
C.3 Euler Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
C.4 Roll-Pitch-Yaw Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
D Spectral Analysis and Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
D.1 Fourier Transform of a Continuous Time Function . . . . . . . . . . . 495
D.1.1 Main properties of the Fourier transform . . . . . . . . . . . . . 496
D.2 Fourier Series of a Periodic Continuous Function . . . . . . . . . . . . 497
D.3 Fourier Transform of a Discrete Time Function . . . . . . . . . . . . . . 498
D.3.1 Discrete Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
D.4 Fourier Analysis of Signals Using DFT (and FFT) . . . . . . . . . . . 500
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509