实例介绍
【实例简介】
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【核心代码】
Contents 1 Introduction 9 2 High-Dimensional Space 12 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 The Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 The Geometry of High Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Properties of the Unit Ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.1 Volume of the Unit Ball . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.2 Volume Near the Equator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.5 Generating Points Uniformly at Random from a Ball . . . . . . . . . . . . 22 2.6 Gaussians in High Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7 Random Projection and Johnson-Lindenstrauss Lemma . . . . . . . . . . . 25 2.8 Separating Gaussians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.9 Fitting a Spherical Gaussian to Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.10 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Best-Fit Subspaces and Singular Value Decomposition (SVD) 40 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Singular Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Singular Value Decomposition (SVD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5 Best Rank-k Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.6 Left Singular Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.7 Power Method for Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.7.1 A Faster Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.8 Singular Vectors and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.9 Applications of Singular Value Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.9.1 Centering Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.9.2 Principal Component Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.9.3 Clustering a Mixture of Spherical Gaussians . . . . . . . . . . . . . 56 3.9.4 Ranking Documents and Web Pages . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.9.5 An Application of SVD to a Discrete Optimization Problem . . . . 63 3.10 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.11 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4 Random Walks and Markov Chains 76 4.1 Stationary Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.2 Markov Chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2.1 Metropolis-Hasting Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.2.2 Gibbs Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.3 Areas and Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2 4.4 Convergence of Random Walks on Undirected Graphs . . . . . . . . . . . . 88 4.4.1 Using Normalized Conductance to Prove Convergence . . . . . . . . 94 4.5 Electrical Networks and Random Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.6 Random Walks on Undirected Graphs with Unit Edge Weights . . . . . . . 102 4.7 Random Walks in Euclidean Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.8 The Web as a Markov Chain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.10 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 Machine Learning 129 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 5.2 The Perceptron algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.3 Kernel Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.4 Generalizing to New Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 5.5 Overfitting and Uniform Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.6 Illustrative Examples and Occam’s Razor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.6.1 Learning Disjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 5.6.2 Occam’s Razor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.6.3 Application: Learning Decision Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 5.7 Regularization: Penalizing Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.8 Online Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5.8.1 An Example: Learning Disjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5.8.2 The Halving Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.8.3 The Perceptron Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.8.4 Extensions: Inseparable Data and Hinge Loss . . . . . . . . . . . . 145 5.9 Online to Batch Conversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.10 Support-Vector Machines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.11 VC-Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5.11.1 Definitions and Key Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 5.11.2 Examples: VC-Dimension and Growth Function . . . . . . . . . . . 151 5.11.3 Proof of Main Theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.11.4 VC-Dimension of Combinations of Concepts . . . . . . . . . . . . . 156 5.11.5 Other Measures of Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.12 Strong and Weak Learning - Boosting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.13 Stochastic Gradient Descent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.14 Combining (Sleeping) Expert Advice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5.15 Deep Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.15.1 Generative Adversarial Networks (GANs) . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.16 Further Current Directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.16.1 Semi-Supervised Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.16.2 Active Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.16.3 Multi-Task Learning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.17 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 3 5.18 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 6 Algorithms for Massive Data Problems: Streaming, Sketching, and Sampling 181 6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6.2 Frequency Moments of Data Streams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.2.1 Number of Distinct Elements in a Data Stream . . . . . . . . . . . 183 6.2.2 Number of Occurrences of a Given Element. . . . . . . . . . . . . . 186 6.2.3 Frequent Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 6.2.4 The Second Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.3 Matrix Algorithms using Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 6.3.1 Matrix Multiplication using Sampling . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.3.2 Implementing Length Squared Sampling in Two Passes . . . . . . . 197 6.3.3 Sketch of a Large Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.4 Sketches of Documents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.5 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 6.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 7 Clustering 208 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.1.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 7.1.2 Two General Assumptions on the Form of Clusters . . . . . . . . . 209 7.1.3 Spectral Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.2 k-Means Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.2.1 A Maximum-Likelihood Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 7.2.2 Structural Properties of the k-Means Objective . . . . . . . . . . . 212 7.2.3 Lloyd’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 7.2.4 Ward’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.2.5 k-Means Clustering on the Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.3 k-Center Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 7.4 Finding Low-Error Clusterings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5 Spectral Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5.1 Why Project? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.5.2 The Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.5.3 Means Separated by Ω(1) Standard Deviations . . . . . . . . . . . . 219 7.5.4 Laplacians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.5.5 Local spectral clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 7.6 Approximation Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.6.1 The Conceptual Idea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.6.2 Making this Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7.6.3 Algorithm and Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 7.7 High-Density Clusters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.7.1 Single Linkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 4 7.7.2 Robust Linkage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.8 Kernel Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 7.9 Recursive Clustering based on Sparse Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 7.10 Dense Submatrices and Communities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.11 Community Finding and Graph Partitioning . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.12 Spectral clustering applied to social networks . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.13 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 7.14 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 8 Random Graphs 245 8.1 The G(n, p) Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 8.1.1 Degree Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8.1.2 Existence of Triangles in G(n, d/n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 8.2 Phase Transitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 8.3 Giant Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.3.1 Existence of a giant component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8.3.2 No other large components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 8.3.3 The case of p < 1/n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 8.4 Cycles and Full Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.4.1 Emergence of Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.4.2 Full Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 8.4.3 Threshold for O(ln n) Diameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 8.5 Phase Transitions for Increasing Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.6 Branching Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.7 CNF-SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 8.7.1 SAT-solvers in practice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.7.2 Phase Transitions for CNF-SAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 8.8 Nonuniform Models of Random Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 8.8.1 Giant Component in Graphs with Given Degree Distribution . . . . 285 8.9 Growth Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 8.9.1 Growth Model Without Preferential Attachment . . . . . . . . . . . 287 8.9.2 Growth Model With Preferential Attachment . . . . . . . . . . . . 293 8.10 Small World Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.11 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 9 Topic Models, Nonnegative Matrix Factorization, Hidden Markov Models, and Graphical Models 310 9.1 Topic Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9.2 An Idealized Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 9.3 Nonnegative Matrix Factorization - NMF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 9.4 NMF with Anchor Terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.5 Hard and Soft Clustering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5 9.6 The Latent Dirichlet Allocation Model for Topic Modeling . . . . . . . . . 320 9.7 The Dominant Admixture Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 9.8 Formal Assumptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9.9 Finding the Term-Topic Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 9.10 Hidden Markov Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 9.11 Graphical Models and Belief Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 9.12 Bayesian or Belief Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 9.13 Markov Random Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.14 Factor Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 9.15 Tree Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.16 Message Passing in General Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 9.17 Graphs with a Single Cycle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 9.18 Belief Update in Networks with a Single Loop . . . . . . . . . . . . . . . . 346 9.19 Maximum Weight Matching . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.20 Warning Propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9.21 Correlation Between Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9.22 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 9.23 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 10 Other Topics 360 10.1 Ranking and Social Choice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.1.1 Randomization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 10.1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 10.2 Compressed Sensing and Sparse Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 10.2.1 Unique Reconstruction of a Sparse Vector . . . . . . . . . . . . . . 365 10.2.2 Efficiently Finding the Unique Sparse Solution . . . . . . . . . . . . 366 10.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.3.1 Biological . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.3.2 Low Rank Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 10.4 An Uncertainty Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370 10.4.1 Sparse Vector in Some Coordinate Basis . . . . . . . . . . . . . . . 370 10.4.2 A Representation Cannot be Sparse in Both Time and Frequency Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 10.5 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 10.6 Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.6.1 The Ellipsoid Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 10.7 Integer Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 10.8 Semi-Definite Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 10.9 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 10.10Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 6 11 Wavelets 385 11.1 Dilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 11.2 The Haar Wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 11.3 Wavelet Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 11.4 Solving the Dilation Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 11.5 Conditions on the Dilation Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 11.6 Derivation of the Wavelets from the Scaling Function . . . . . . . . . . . . 394 11.7 Sufficient Conditions for the Wavelets to be Orthogonal . . . . . . . . . . . 398 11.8 Expressing a Function in Terms of Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . 401 11.9 Designing a Wavelet System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 11.10Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 11.11 Bibliographic Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 11.12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 12 Appendix 406 12.1 Definitions and Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 12.2 Asymptotic Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 12.3 Useful Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408 12.4 Useful Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413 12.5 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 12.5.1 Sample Space, Events, and Independence . . . . . . . . . . . . . . . 420 12.5.2 Linearity of Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 12.5.3 Union Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 12.5.4 Indicator Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 12.5.5 Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 12.5.6 Variance of the Sum of Independent Random Variables . . . . . . . 423 12.5.7 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 12.5.8 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 12.5.9 Probability Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 12.5.10 Bayes Rule and Estimators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 12.6 Bounds on Tail Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 12.6.1 Chernoff Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 12.6.2 More General Tail Bounds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 12.7 Applications of the Tail Bound . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 12.8 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437 12.8.1 Symmetric Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 12.8.2 Relationship between SVD and Eigen Decomposition . . . . . . . . 441 12.8.3 Extremal Properties of Eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 12.8.4 Eigenvalues of the Sum of Two Symmetric Matrices . . . . . . . . . 443 12.8.5 Norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 12.8.6 Important Norms and Their Properties . . . . . . . . . . . . . . . . 446 12.8.7 Additional Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 12.8.8 Distance between subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 7 12.8.9 Positive semidefinite matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 12.9 Generating Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 12.9.1 Generating Functions for Sequences Defined by Recurrence Relationships . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 12.9.2 The Exponential Generating Function and the Moment Generating Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 12.10Miscellaneous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 12.10.1 Lagrange multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456 12.10.2 Finite Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 12.10.3 Application of Mean Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 457 12.10.4 Sperner’s Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 12.10.5 Pr¨ufer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 12.11Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460 Index 466
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